知识点：全变差模型

知识点概述

全变差（Total Variation, TV）模型是一种在图像处理中广泛应用的正则化技术，尤其适用于图像去噪。它假设自然图像通常是分片常数或分片光滑的，通过最小化图像梯度的 $e l l_{1}$ 范数（即全变差）来平滑噪声，同时保持边缘的清晰。

全变差定义: 对于一个图像 $u$ ，其（离散）全变差定义为： $TV (u) = \sum_{i, j} ∥\nabla u_{i, j} ∥$ 其中 $nab l a u_{i, j}$ 是在像素 $(i, j)$ 处的离散梯度。这可以看作是图像梯度场的 $e l l_{1}$ 范数。
优化模型 (ROF Model): 给定带噪声的图像 $f$ ，经典的ROF（Rudin-Osher-Fatemi）去噪模型求解以下优化问题： $min_{u} TV (u) + \frac{l amb d a}{2} ∥ u - f ∥_{2}^{2}$
- 数据保真项: $n ∣ u - f ∥_{2}^{2}$ 确保去噪后的图像 $u$ 与原始噪声图像 $f$ 不会偏离太远。
- 正则项: $t e x t T V (u)$ 惩罚图像的震荡，促进分片常数解，从而去除噪声。 $l amb d a$ 是平衡两者的正则化参数。
性质: 这是一个凸但非光滑的优化问题（因为TV项中含有梯度的范数，是 $e l l_{1}$ 类型的）。