40-应用案例-小波模型

知识点：小波模型

知识点概述

小波变换是一种强大的信号分析工具，它能将信号分解到不同尺度和位置的局部化波函数（小波）上。自然信号和图像在小波域通常具有稀疏性，即大部分小波系数很小或为零。利用这一先验，可以构建基于小波稀疏性的优化模型来解决去噪、压缩等问题。

详细解释

• 小波变换: 与傅里叶变换将信号分解为不同频率的正弦波不同，小波变换使用具有有限持续时间且形态多样的“小波”作为基函数，能同时提供信号的频率和时间（或空间位置）信息。
• 小波域稀疏性: 大量实验和理论表明，自然图像等信号经过小波变换后，其能量集中在少数几个大的小波系数上，而大部分系数都接近于零。
• 优化模型: 利用小波域的稀疏性，许多图像处理问题可以被建模为在小波域的稀疏恢复问题。例如，图像去噪可以建模为： ${\min }_x\Vert x{\Vert }_1\text{s.t. }\Vert A{\Psi }^{-1}x-y{\Vert }_2\le ϵ$ 其中 $y$ 是观测信号，${\Psi }^{-1}$ 是逆小波变换，$x$ 是待求的稀疏小波系数，$A$ 是测量矩阵。这与压缩感知的模型非常相似。

学习要点

• 理解小波变换的核心思想是多尺度分析。
• 掌握“自然信号在小波域是稀疏的”这一重要先验知识。
• 了解如何将小波稀疏性先验结合到优化模型中，通常是通过对小波系数施加 ${\ell }_1$ 范数正则化。

实践应用

• JPEG 2000 图像压缩: JPEG 2000标准就是基于小波变换和稀疏编码的。
• 信号/图像去噪: 通过对小波系数进行阈值处理（硬阈值或软阈值），可以有效地去除噪声。软阈值操作恰好是求解一个 ${\ell }_1$ 正则化最小二乘问题的解。
• 压缩感知: 小波基是压缩感知理论中最常用的稀疏基之一。

关联知识点

• 前置知识: 3-应用案例-稀疏优化, 39-应用案例-全变差模型
• 后续知识: 67-理论方法-近似点梯度法
• 相关知识: 无