知识点：相位恢复

知识点概述

相位恢复（Phase Retrieval）问题旨在从一个信号的傅里叶变换的模（幅度）信息中恢复出原始信号。由于相位信息的丢失，这是一个具有挑战性的非凸优化问题。

问题背景: 在X射线晶体学、天文学成像等许多物理测量中，探测器只能记录光的强度（幅度的平方），而无法记录其相位。问题是从 $∣ A x ∣$ 的测量值中恢复信号 $x$ ，其中 $A$ 通常是傅里叶变换矩阵。
优化模型: 一个自然的建模方式是求解非线性最小二乘问题： $x min i \sum (∣ a_{i}^{T} x ∣^{2} - b_{i})^{2}$ 其中 $b_{i}$ 是测量到的强度。这是一个四次多项式，因此是高度非凸的。
求解方法:
- 交替投影: 经典算法如Gerchberg-Saxton (GS) 和 Fine-up (Fienup) 算法在信号域和傅里叶域之间交替投影。
- 凸松弛 (PhaseLift): 通过将问题“提升”到矩阵空间，可以将其松弛为一个半定规划（SDP）问题。令 $X = x x^{T}$ ，则 $∣ a_{i}^{T} x ∣^{2} = Tr (a_{i} a_{i}^{T} X)$ ，原问题可以近似为：
$X min rank (X) s.t. Tr (a_{i} a_{i}^{T} X) = b_{i}, X ⪰ 0$ 再将秩最小化松弛为核范数最小化，就得到了一个可以求解的SDP。