018-理论方法-单调类定理

知识点概述

单调类定理是测度论和现代概率论中的一个核心技术工具。它的主要作用是，将在一个较简单的、对交运算封闭的集合类（$\pi$-类）上成立的某个性质（如两个概率测度相等），推广到由这个简单集合类生成的、结构复杂得多的 $\sigma$-代数上。

教材原文

定理1.4.3（单调类定理） 设 $\mathcal{G}$ 为 $\Omega$ 中的集类。 (1) 若 $\mathcal{G}$ 为一代数，则 $m(\mathcal{G})=\sigma (\mathcal{G})$ (2) 若 $\mathcal{G}$ 为一 $\pi$-类，则 $\lambda (\mathcal{G})=\sigma (\mathcal{G})$

详细解释

• 核心思想: 证明一个性质在整个 $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$ 上成立通常很困难。单调类定理提供了一条捷径：

  1. 找到一个能生成 $\mathcal{F}$ 的、结构更简单的集合类 $\mathcal{G}$（通常是一个 $\pi$-类，即对有限交运算封闭）。
  2. 证明该性质在 $\mathcal{G}$ 上成立。
  3. 证明所有满足该性质的集合构成一个 $\lambda$-类（或单调类）。
  4. 根据单调类定理，既然这个 $\lambda$-类包含了 $\pi$-类 $\mathcal{G}$，那么它必然也包含了由 $\mathcal{G}$ 生成的 $\sigma$-代数 $\mathcal{F}$。从而证明了该性质在整个 $\mathcal{F}$ 上都成立。

• 相关概念:

  • $pi$-类: 一个对有限交运算封闭的集合族。例如，实数轴上所有形如 $(-\infty ,x]$ 的半直线构成的集合族就是一个 $\pi$-类。
  • $lambda$-类 (Dynkin System): 一个满足以下三个条件的集合族 $mathcalL$：
    1. $\Omega \in \mathcal{L}$。
    2. 若 $A,B\in \mathcal{L}$ 且 $A\subset B$，则 $B-A\in \mathcal{L}$ (对真差封闭)。
    3. 若 {A_n} 是 $mathcalL$ 中单调递增的序列，则 ${\lim }_{n\to \infty }{A}_n={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{L}$ (对递增极限封闭)。

• 定理的威力 ($pi$-$lambda$ 定理): 定理的第二部分通常被称为 $pi$-$lambda$ 定理，它指出：包含一个 $pi$-类的最小 $lambda$-类就是由该 $pi$-类生成的 $sigma$-代数。这是其在概率论证中最常用的形式。

学习要点

• 理解定理的用途: 它是一个“放大”工具，能将一个在简单集合类上成立的结论，“放大”到复杂的 $sigma$-代数上。
• 识别 $pi$-类和 $lambda$-类: 在证明过程中，关键是构造合适的集合类，并验证其是否满足 $pi$-类或 $lambda$-类的定义。

实践应用

• 证明测度唯一性: 证明如果两个概率测度 $P_1$ 和 $P_2$ 在一个生成 $sigma$-代数 $mathcalF$ 的 $pi$-类 $mathcalG$ 上相等，那么它们在整个 $mathcalF$ 上都相等。这是分布函数能唯一确定概率分布的理论基础。
• 证明独立性: 在证明随机变量独立性时，常常先在由半直线构成的 $pi$-类上证明乘积性质成立，然后利用单调类定理将其推广到整个Borel $sigma$-代数上。

关联知识点

• 前置知识:
  • 015-核心概念-事件sigma代数
• 后续知识:
  • 053-理论方法-独立性的等价条件