041-理论方法-Gamma分布

知识点概述

伽玛分布（Gamma Distribution）是一个非常灵活的连续型概率分布，通常用于建模等待时间相关的随机现象。它是指数分布和卡方分布的推广，其概率密度函数包含一个伽玛函数，因而得名。

教材原文

(教材在2.4节标题“重要的连续型分布”下隐含了伽玛分布，其定义是概率论的标准内容。)

详细解释

1. 伽玛函数 (Gamma Function):

   • 在定义伽玛分布之前，需要先了解伽玛函数 $\Gamma (\alpha )$。
   • 定义为： $\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt,\alpha >0$
   • 重要性质:
     • $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$ (分部积分可得)
     • 当 $\alpha$ 为正整数 $n$ 时，$\Gamma (n)=(n-1)!$
     • $\Gamma (1)=1$
     • $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$
   • 伽玛函数可以看作是阶乘概念在实数和复数域上的推广。

2. 伽玛分布的定义:

   • 如果一个连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数 (PDF) 为： $f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x},x>0$
   • 其中参数 $\alpha >0$ 和 $\beta >0$，则称 $X$ 服从参数为 $\alpha$ 和 $\beta$ 的伽玛分布，记为 $X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )$ 或 $X\sim \text{Gamma}(\alpha ,\beta )$。

3. 参数的意义:

   • 形状参数 (Shape Parameter) $\alpha$: 决定了分布曲线的形状。当 $\alpha$ 较小时，曲线非常偏斜；随着 $\alpha$ 增大，曲线逐渐变得对称，接近正态分布。
   • 尺度参数 (Scale Parameter) $\beta$ (有时用 $\theta =1/\beta$): 决定了分布曲线的伸缩。$\beta$ 越大，曲线越向左侧集中和陡峭。

4. 与其它分布的关系:

   • 指数分布: 当形状参数 $\alpha =1$ 时，伽玛分布就变成了042-理论方法-指数分布。即 $\Gamma (1,\beta )=\text{Exp}(\beta )$。 $f(x)=\frac{{\beta }^1}{\Gamma (1)}{x}^{1-1}{e}^{-\beta x}=\beta e^{-\beta x}$ 这表明，指数分布描述的是第一次稀有事件发生前的等待时间，而伽玛分布可以看作是第 $\alpha$ 次稀有事件发生前的等待时间。
   • 卡方分布 (Chi-squared Distribution): 当 $\alpha =n/2$ 且 $\beta =1/2$ 时，伽玛分布就变成了自由度为 $n$ 的卡方分布 ${\chi }^2(n)$。卡方分布在统计推断中至关重要。
   • 正态分布: 当形状参数 $\alpha$ 很大时，伽玛分布近似于正态分布。

学习要点

• 了解伽玛函数是阶乘的推广。
• 掌握伽玛分布的PDF表达式，并理解形状参数 $\alpha$ 和尺度参数 $\beta$ 的作用。
• 理解伽玛分布作为“等待第 $\alpha$ 次事件发生的时间”的物理意义。
• 牢记伽玛分布与指数分布、卡方分布的特殊关系，这是理解分布族的关键。

实践应用

由于其灵活性，伽玛分布在很多领域都有应用：

• 可靠性工程与寿命检验: 建模一个设备在发生 $r$ 次故障前的总工作时间。
• 排队论: 建模服务台总共服务 $r$ 位顾客所花费的总时间。
• 保险学: 建模某类保险的总索赔金额。
• 气象学: 建模总降雨量。
• 金融学: 在某些高级模型中用于描述资产收益率的分布。

例题: 假设某个服务器收到的请求流是一个泊松过程，平均每分钟收到2个请求（$\lambda =2$）。求该服务器在收到第3个请求之前，所等待的时间 $T$ 的概率密度函数。

解题思路:

1. 识别模型: 等待第 $r$ 次事件发生的时间服从伽玛分布。
2. 确定参数:
   • 这里是等待第3个请求，所以形状参数 $\alpha =3$。
   • 泊松过程的速率 $\lambda$ 对应伽玛分布的尺度参数 $\beta$。所以 $\beta =2$。
3. 写出PDF:
   • 随机变量 $T\sim \Gamma (3,2)$。
   • 其PDF为： $f(t)=\frac{2^3}{\Gamma (3)}{t}^{3-1}{e}^{-2t},t>0$
   • 因为 $\Gamma (3)=(3-1)!=2!=2$。
   • 所以： $f(t)=\frac{8}{2}{t}^2{e}^{-2t}=4t^2{e}^{-2t},t>0$

关联知识点

• 前置知识:
  • 030-核心概念-连续型随机变量与密度函数
  • 038-理论方法-Poisson过程
• 核心关联:
  • 042-理论方法-指数分布 (伽玛分布的特例)
• 后续知识:
  • 卡方分布 (Chi-squared Distribution)
  • 贝塔分布 (Beta Distribution)