知识点概述

特征函数作为概率分布的另一种表示形式，拥有一系列优良的分析性质。这些性质不仅使其在功能上可以完全替代矩母函数，而且由于其普遍存在性，使其在高等概率论的理论证明中扮演着更为重要的角色。

教材原文

(该知识点是标准概率论内容，在教材中通常紧随特征函数的定义之后。)

设 $X, Y$ 为随机变量，其特征函数分别为 $ϕ_{X} (t)$ 和 $ϕ_{Y} (t)$ 。

性质1: $ϕ_{X} (0) = 1$ 。
- 证明: $ϕ_{X} (0) = E (e^{i \cdot 0 \cdot X}) = E (e^{0}) = E (1) = 1$ 。
性质2: $∣ ϕ_{X} (t) ∣ \leq 1$ 对所有 $t \in R$ 成立。
- 证明: $∣ ϕ_{X} (t) ∣ = ∣ E (e^{i tX}) ∣ \leq E (∣ e^{i tX} ∣)$ 。由于 $∣ e^{i tX} ∣ = 1$ ，所以 $E (∣ e^{i tX} ∣) = E (1) = 1$ 。
性质3: $ϕ_{X} (- t) = \overline{ϕ_{X} (t)}$ (共轭性质)。
- 证明: $ϕ_{X} (- t) = E (e^{- i tX}) = E (\overline{e^{i tX}}) = \overline{E (e^{i tX})} = \overline{ϕ_{X} (t)}$ 。

性质4 (唯一性): 随机变量的分布由其特征函数唯一确定。这是最重要的性质之一，也是074-理论方法-反演公式与唯一性定理的核心内容。
性质5 (生成矩): 如果 $X$ 的 $k$ 阶矩 $E (X^{k})$ 存在，那么可以通过对特征函数求导来得到它。 $ϕ_{X}^{(k)} (t) = E [(i X)^{k} e^{i tX}]$ 令 $t = 0$ ，可得： $E (X^{k}) = \frac{ϕ _{X}^{(k)} ( 0 )}{i ^{k}}$
- 这与矩母函数的性质 $E (X^{k}) = M_{X}^{(k)} (0)$ 非常相似，只是多了一个因子 $i^{k}$ 。

性质6 (线性变换): 设 $Y = a X + b$ ，其中 $a, b$ 是常数。那么 $Y$ 的特征函数 $ϕ_{Y} (t)$ 与 $X$ 的特征函数 $ϕ_{X} (t)$ 的关系为： $ϕ_{a X + b} (t) = e^{ib t} ϕ_{X} (a t)$
- 推导: $ϕ_{Y} (t) = E [e^{i t Y}] = E [e^{i t (a X + b)}] = E [e^{ia tX} e^{ib t}] = e^{ib t} E [e^{i (a t) X}] = e^{ib t} ϕ_{X} (a t)$ 。
性质7 (独立和): 如果 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，令 $Z = X + Y$ ，那么 $Z$ 的特征函数是 $X$ 和 $Y$ 的特征函数的乘积。 $ϕ_{X + Y} (t) = ϕ_{X} (t) ϕ_{Y} (t)$
- 推导: $ϕ_{Z} (t) = E [e^{i tZ}] = E [e^{i t (X + Y)}] = E [e^{i tX} e^{i t Y}]$ 。因为 $X, Y$ 相互独立，所以 $e^{i tX}$ 和 $e^{i t Y}$ 也相互独立。根据期望的乘法性质， $E [e^{i tX} e^{i t Y}] = E [e^{i tX}] E [e^{i t Y}] = ϕ_{X} (t) ϕ_{Y} (t)$ 。
- 这个性质与矩母函数的对应性质完全相同，是将卷积运算转化为乘法运算的关键。

性质8 (一致连续性): 任何随机变量的特征函数 $ϕ_{X} (t)$ 在整个实数轴 $R$ 上都是一致连续的。这是一个深刻的数学性质，保证了特征函数的良好行为，是其在理论分析中优于其他母函数的原因之一。

特征函数的性质与矩母函数的性质高度相似，可以对比记忆：
- 线性变换: $M_{a X + b} (t) = e^{b t} M_{X} (a t)$ vs $ϕ_{a X + b} (t) = e^{ib t} ϕ_{X} (a t)$
- 独立和: $M_{X + Y} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (t)$ vs $ϕ_{X + Y} (t) = ϕ_{X} (t) ϕ_{Y} (t)$
- 求矩: $E (X^{k}) = M_{X}^{(k)} (0)$ vs $E (X^{k}) = ϕ_{X}^{(k)} (0) / i^{k}$
理解特征函数独有的优良性质：普遍存在性（任何分布都有特征函数）和一致连续性。

这些性质，特别是独立和的性质，是证明许多重要理论的基石。

例题: 利用特征函数证明，若 $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ 和 $Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ 相互独立，则 $Z = X + Y \sim N (μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})$ 。

解题思路:

写出单个特征函数: 正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的特征函数为 $ϕ (t) = e^{i μ t - \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}}$ 。
- $ϕ_{X} (t) = e^{i μ_{1} t - \frac{1}{2} σ_{1}^{2} t^{2}}$
- $ϕ_{Y} (t) = e^{i μ_{2} t - \frac{1}{2} σ_{2}^{2} t^{2}}$
应用独立和的性质: $ϕ_{Z} (t) = ϕ_{X} (t) ϕ_{Y} (t) = e^{i μ_{1} t - \frac{1}{2} σ_{1}^{2} t^{2}} \cdot e^{i μ_{2} t - \frac{1}{2} σ_{2}^{2} t^{2}}$ $ϕ_{Z} (t) = e^{i (μ_{1} + μ_{2}) t - \frac{1}{2} (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}) t^{2}}$
利用唯一性识别分布: 我们发现 $Z$ 的特征函数 $ϕ_{Z} (t)$ 的形式与正态分布的特征函数完全一致，其均值参数为 $μ_{1} + μ_{2}$ ，方差参数为 $σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}$ 。根据唯一性定理，可以断定 $Z \sim N (μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})$ 。