094-理论方法-Lindeberg条件与Feller条件

知识点概述

林德伯格（Lindeberg）条件和费勒（Feller）条件是中心极限定理（CLT）在更一般情况（即随机变量不一定同分布）下成立的充分必要条件。它们从数学上精确地刻画了，为了让一列独立随机变量的和的分布趋向于正态分布，序列中的单个随机变量必须“足够小”，不能有任何一个变量的方差在总方差中占据主导地位。

教材原文

(该知识点是高等概率论的核心内容，是对经典中心极限定理的终极推广。)

详细解释

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是一系列相互独立的随机变量，其期望和方差分别为 $E(X_k)={\mu }_k$ 和 $D(X_k)={\sigma }_k^2$。 令 $S_n={\sum }_{k=1}^n{X}_k$，则 $S_n$ 的方差为 $B_n^2=D(S_n)={\sum }_{k=1}^n{\sigma }_k^2$。

1. 林德伯格条件 (Lindeberg Condition)

• 条件内容: 对于任意给定的 $ϵ>0$，都满足： \lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_n^2} \sum_{k=1}^n E\[ (X_k - \mu_k)^2 \cdot \mathbf{1}_{\{|X_k - \mu_k| > \epsilon B_n\}} \] = 0 其中 $1_{\{\dots \}}$ 是示性函数。

• 直观理解:

  • $|X_k-{\mu }_k|>ϵB_n$ 表示第 $k$ 个变量出现了远离其均值的“大偏差”。这个偏差的大小是与整个和的标准差 $B_n$ 相比较的。
  • $E[\dots ]$ 计算的是这些“大偏差”的平方的期望，可以理解为由大偏差贡献的方差部分。
  • 整个林德伯格条件要求，由“大偏差”事件所贡献的方差占总方差的比例，随着 $n$ 的增大而趋向于0。
  • 换句话说，总方差 $B_n^2$ 的增长，必须是由大量“小”的、独立的随机波动累积起来的，而不能由少数几个“巨大”的随机波动所主导。每一个随机变量 $X_k$ 相对于总和 $S_n$ 来说，都是“无穷小”的。

• 林德伯格中心极限定理: 如果独立随机变量序列 {$X_k$} 满足林德伯格条件，那么标准化的和 $\frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}}$ 依分布收敛于标准正态分布 $N(0,1)$。

2. 费勒条件 (Feller Condition)

• 条件内容: ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\max }_{1\le k\le n}{\sigma }_k^2}{B_n^2}=0$ 即： ${\lim }_{n\to \infty }\frac{{\max }_{1\le k\le n}D(X_k)}{{\sum }_{k=1}^{n}D(X_k)}=0$

• 直观理解: 费勒条件要求，在总方差中，方差最大的那个随机变量所占的比例，随着 $n$ 的增大而趋向于0。这同样保证了没有任何单个的随机变量的波动性可以支配整个和的波动性。

3. 林德伯格-费勒中心极限定理

这是中心极限定理的最终形式，它将两个条件结合起来。

对于独立的随机变量序列 {$X_k$}，其标准化的和依分布收敛于标准正态分布的充分必要条件是，该序列同时满足林德伯格条件和费勒条件。

• 充分性: 林德伯格条件是CLT成立的充分条件（Lindeberg CLT）。
• 必要性: 如果CLT成立，并且序列满足费勒条件，那么林德伯格条件也必须成立。

在大多数情况下，林德伯格条件比费勒条件更核心。费勒条件主要是为了排除一些病态的情况，确保极限的稳定性。

学习要点

• 核心思想: 中心极限定理的本质要求是“个体无穷小，整体显神威”。林德伯格和费勒条件都是对“个体无穷小”这一思想的严格数学刻画。
• 从i.i.d.到独立: 理解这些条件是如何将中心极限定理从“独立同分布”推广到“独立但可以不同分布”的。
  • 在i.i.d.的情况下，每个变量的方差都相同，林德伯格和费勒条件自然满足，因此经典CLT成立。
  • 李雅普诺夫条件是比林德伯格条件更强（更容易验证）的一个充分条件。
• 关系: 李雅普诺夫条件 $⟹$ 林德伯格条件 $⟹$ 中心极限定理成立。

关联知识点

• 前置知识:
  • 093-理论方法-Lévy-Lindeberg定理
• 相关概念:
  • 095-理论方法-Lyapunov定理