1-核心概念-最优化问题的一般形式

知识点：最优化问题的一般形式

知识点概述

最优化问题旨在寻找给定约束条件下的最佳决策变量，以最小化或最大化一个目标函数。其一般形式为在可行域内寻找目标函数的最优解。

教材原文

最优化问题一般可以描述为

$$\min f(x),\text{\hspace{1em}(1.1.1)}$$ $$\begin{array}{ll}\text{s . t .}& x\in \mathcal{X},\end{array}$$

其中 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{R}}^n$ 是决策变量， $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是目标函数， $\mathcal{X}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是约束集合或可行域，可行域包含的点称为可行解或可行点．… 集合 $\mathcal{X}$ 通常可以由约束函数 $c_i(x):{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R},i=1,2,\dots ,m+l$ 表达为如下具体形式：

$$\mathcal{X}=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid c_i(x)⩽0,i=1,2,\dots ,m,$$ $$c_i(x)=0,i=m+1,m+2\dots ,m+l\}.$$

详细解释

• 背景和动机: 许多现实世界的问题，如资源分配、工程设计、金融投资等，都可以抽象为在特定限制下寻找最佳方案的问题。最优化为此提供了一个数学框架。
• 核心组成:
  • 决策变量 (Decision Variables) $x$: 模型中需要确定的未知量，可以是向量、矩阵或更复杂的形式。
  • 目标函数 (Objective Function) $f(x)$: 需要被最小化（或最大化）的函数，代表了我们希望达成的目标（如成本最低、利润最高）。
  • 约束集合 (Constraint Set / Feasible Region) $\mathcal{X}$: 决策变量必须满足的一系列等式或不等式约束条件，定义了可行解的范围。
• 关键术语:
  • 可行解 (Feasible Solution): 任何满足所有约束条件的点 $x\in \mathcal{X}$。
  • 最优解 (Optimal Solution) $x^{\ast }$: 使目标函数 $f(x)$ 达到最小（或最大）值的可行解。

学习要点

• 理解并能写出最优化问题的标准数学形式。
• 能够识别一个具体问题中的决策变量、目标函数和约束条件。
• 区分最小化（min）和最大化（max）问题，并知道它们可以相互转化（$\max f(x)=-\min (-f(x))$）。

实践应用

• 生产计划: 决策变量是各种产品的产量，目标函数是总利润，约束是原材料、工时和库存限制。
• 投资组合: 决策变量是各项资产的投资比例，目标函数是风险调整后收益，约束是总投资额和风险容忍度。

关联知识点

• 前置知识: 无
• 后续知识: 2-核心概念-最优化问题的分类, 6-核心概念-无约束和约束优化, 11-核心概念-全局和局部最优解
• 相关知识: 无