20-核心概念-闭函数与下半连续函数

知识点：闭函数与下半连续函数

知识点概述

闭函数是连续函数在广义实值函数上的推广，它保证了函数最优解的存在性。一个函数是闭函数，当且仅当它的上方图是闭集，或者等价地，它的所有下水平集是闭集，或者它是下半连续的。

教材原文

定义2.10（闭函数）设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \overline{\mathbb{R}}$ 为广义实值函数，若epif为闭集，则称 $f$ 为闭函数 定义2.11（下半连续函数）设广义实值函数 $f:{\mathbb{R}}^n\to \overline{\mathbb{R}}$ ，若对任意的 $x\in {\mathbb{R}}^n$ ，有

$$\underset{y\to x}{\mathrm{liminf}}f(y)⩾f(x),$$

则 $f(x)$ 为下半连续函数

详细解释

• 等价定义: 以下三个命题是等价的：
  1. 闭函数: 函数的上方图 $\mathbf{epi}f=\{(x,t)\mid f(x)\le t\}$ 是一个闭集。
  2. 下半连续 (Lower Semi-continuous): 在任意一点 $x$，函数值 $f(x)$ 小于或等于其附近所有点的函数值的下极限。直观上，函数图像允许有“向上”的跳跃，但不允许有“向下”的跳跃。
  3. 闭下水平集: 对任意 $\alpha \in \mathbb{R}$，函数的 $\alpha$-下水平集 $\{x\mid f(x)\le \alpha \}$ 都是闭集。
• 重要性: 这个性质是保证最小值存在性的关键条件之一（魏尔斯特拉斯定理的推广）。如果一个闭函数在某个紧（有界闭）下水平集上被最小化，那么它一定能取到最小值。

学习要点

• 掌握闭函数、下半连续函数和闭下水平集这三个等价概念。
• 理解下半连续的直观含义（允许向上跳跃）。
• 知道闭函数性质是保证最优解存在性的重要条件。

实践应用

• 在凸分析中，许多重要的操作（如取共轭、求对偶）都要求函数是“闭的”和“适当的”，以保证良好的理论性质。

关联知识点

• 前置知识: 19-核心概念-广义实值函数
• 后续知识: 50-理论方法-最优解的存在性, 27-核心概念-共轭函数
• 相关知识: 无