19-核心概念-广义实值函数

知识点：广义实值函数

知识点概述

广义实值函数是传统实值函数的扩展，其值域包含正负无穷（$\pm \infty$）。这在优化理论中非常有用，例如可以用无穷函数值来隐式地表示约束条件。

教材原文

令 $\overline{\mathbb{R}}\stackrel{\mathrm{def}}{=}\mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}$ 为广义实数空间，则映射 $f:{\mathbb{R}}^n\to \overline{\mathbb{R}}$ 称为广义实值函数… 定义2.7 (适当函数) …如果存在 $x\in \mathcal{X}$ 使得 $f(x)<+\infty$ , 并且对任意的 $x\in \mathcal{X}$ , 都有 $f(x)>-\infty$ , 那么称函数 $f$ 关于集合 $\mathcal{X}$ 是适当的.

详细解释

• 定义: 一个函数的值可以取 $+\infty$ 或 $-\infty$。
• 作用:
  • 表示约束: 一个带约束的优化问题 ${\min }_{x\in \mathcal{X}}f(x)$ 可以等价地写成一个无约束问题 ${\min }_{x\in {\mathbb{R}}^n}(f(x)+I_{\mathcal{X}}(x))$，其中 $I_{\mathcal{X}}(x)$ 是指示函数： $$I_{\mathcal{X}}(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\in \mathcal{X}\\ +\infty ,& x\notin \mathcal{X}\end{array}$$ 这样，在可行域外的点的函数值被视为无穷大，自然不会被选为最小值点。
• 适当函数 (Proper Function): 一个广义实值函数，如果它不恒等于$+\infty$（即至少有一个点函数值有限），且从不取值$-\infty$，则称其为适当函数。这是优化中研究的函数类的基本要求，排除了无意义或无解的情况。
• 定义域 (Domain): 适当函数的定义域被定义为所有使得函数值小于$+\infty$的点的集合，即 $\mathbf{dom}f=\{x\mid f(x)<+\infty \}$。

学习要点

• 理解广义实值函数的概念及其在表示约束中的作用。
• 掌握适当函数的定义（不恒为$+\infty$，不取$-\infty$）。
• 理解适当函数的定义域是其取有限值的点的集合。

实践应用

• 在凸分析和对偶理论中，广义实值函数是基础语言，使得理论表述更为简洁和统一。

关联知识点

• 前置知识: 无
• 后续知识: 20-核心概念-闭函数与下半连续函数, 24-核心概念-凸函数, 27-核心概念-共轭函数
• 相关知识: 7-核心概念-无约束和约束优化