22-核心概念-凸包与仿射包

知识点：凸包与仿射包

知识点概述

一个集合的凸包是包含该集合的最小凸集，由集合中所有点的凸组合构成。仿射包则是包含该集合的最小仿射集。

教材原文

形如

$$x={\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+\cdots +{\theta }_k{x}_k,$$ $$1={\theta }_1+{\theta }_2+\cdots +{\theta }_k,{\theta }_i⩾0,i=1,2,\dots ,k$$

的点称为 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$ 的凸组合。集合 $S$ 中点所有可能的凸组合构成的集合称作 $S$ 的凸包，记作 $\mathrm{conv}S$ 。实际上， $\mathrm{conv}S$ 是包含 $S$ 的最小的凸集。

详细解释

• 凸组合 (Convex Combination): 点集 {x_1, \dots, x_k} 的一个线性组合 $\sum {\theta }_i{x}_i$，其中系数 ${\theta }_i$ 非负且和为1。
• 凸包 (Convex Hull): 一个集合 $S$ 的凸包 $\text{conv}(S)$ 是 $S$ 中所有点的所有可能凸组合的集合。直观上，就像用一根橡皮筋紧紧包住集合 $S$ 形成的外壳。
• 仿射包 (Affine Hull): 一个集合 $S$ 的仿射包 $\text{affine}(S)$ 是 $S$ 中所有点的所有可能仿射组合（系数和为1，但可以为负）的集合。它是包含 $S$ 的最小仿射集（如平面、直线）。

学习要点

• 理解凸组合的定义（系数非负且和为1）。
• 掌握凸包的定义和几何直观。
• 区分凸包和仿射包。

实践应用

• 计算几何: 寻找点集的边界。
• 鲁棒优化: 不确定性集合通常用已知点的凸包来建模。

关联知识点

• 前置知识: 21-核心概念-凸集
• 后续知识: 24-核心概念-凸函数
• 相关知识: 无