023-应用案例-随机徘徊的吸收概率

知识点概述

随机徘徊（或随机游走）是一个数学模型，描述了一个对象在一系列离散步骤中随机移动的过程。吸收概率问题研究的是这个对象首次到达某个特定状态（吸收壁）的概率。

教材原文

例1.5.7 (随机徘徊的吸收概率) 质点在数轴的整点上运动。无论它处在哪一个点 $i$ 上，下一时刻都以概率 $p$ 向右移动到 $i+1$；以概率 $q$ 向左移动到 $i-1,p,q>0,p+q=1$。我们把质点的这种运动称为(直线上的)随机徘徊。现在考虑数轴上两个特殊的点0与 $a(a>1)$，假定质点运动到0或 $a$ 之后就永远不再移动，称这样的0与 $a$ 为随机徘徊的吸收壁。现求自 $i(0<i<a)$ 出发的质点将被0或 $a$ 吸收的概率。

…（推导过程）…

总之，我们得到自 $i$ 出发的随机游动终将被 $a$ 吸收的概率 $Q_i=\{\begin{array}{llc}\frac{i}{a},& p=q,\frac{1-(q/p{)}^i}{1-(q/p{)}^a},& p\ne q,\end{array}i=0,1,\dots ,a.$ 类似地可以算得，质点将在0处被吸收的概率为 $P_i=\{\begin{array}{llc}\frac{a-i}{a},& p=q,\frac{(q/p{)}^i-(q/p{)}^a}{1-(q/p{)}^a},& p\ne q.\end{array}i=0,1,\dots ,a.$ 上述结果表明，对一切 $i$ 总有 $P_i+Q_i=1$。就是说，两端带吸收壁0与 $a$ 的随机游动终将被吸收的概率为1，从而质点在1至 $a-1$ 之间永远地徘徊下去的概率为0。

详细解释

1. 模型设定:
   • 一个质点在整数点上移动。
   • 从任意点 $i$，下一步以概率 $p$ 移动到 $i+1$，以概率 $q=1-p$ 移动到 $i-1$。
   • 存在两个吸收壁，位于 $0$ 和 $a$。一旦质点到达这两个点，运动即停止。
2. 核心问题: 计算从初始位置 $i$ ($0<i<a$) 出发，最终被吸收壁 $a$ 吸收的概率 $Q_i$（或被 $0$ 吸收的概率 $P_i$）。
3. 求解方法 (差分方程):
   • 令 $Q_i$ 为从位置 $i$ 出发最终被 $a$ 吸收的概率。
   • 显然，边界条件为 $Q_0=0$ (已经到了0，不可能再到a) 和 $Q_a=1$ (已经到了a)。
   • 对于中间任意点 $i$，考虑其第一步的移动。根据021-理论方法-全概率公式，可以将 $Q_i$ 分解为： $Q_i=p\cdot P(\text{从 }i+1\text{ 出发被 }a\text{ 吸收})+q\cdot P(\text{从 }i-1\text{ 出发被 }a\text{ 吸收})$ 即 $Q_i=p{Q}_{i+1}+q{Q}_{i-1}$。
   • 这是一个二阶线性常系数差分方程。通过求解这个方程并代入边界条件，可以得到 $Q_i$ 的表达式。
4. 结果分析:
   • 公平赌博 ($p=q=1/2$): 质点被 $a$ 吸收的概率与初始位置 $i$ 成线性关系，$Q_i=i/a$。这直观地表示离哪个吸收壁越近，被其吸收的概率就越大。
   • 不公平赌博 ($p\ne q$): 概率关系变为指数形式。如果向右的趋势更强 ($p>q$)，则被右侧吸收壁 $a$ 吸收的概率会显著增大，反之亦然。

学习要点

• 理解随机徘徊模型的基本设定。
• 掌握利用全概率公式建立关于吸收概率的递推关系（差分方程）的方法。
• 能够根据边界条件求解简单的差分方程。
• 理解 $p$ 和 $q$ 的相对大小如何影响最终的吸收概率。

实践应用

• 赌徒输光问题: 这是随机徘徊最经典的应用。两个赌徒甲和乙，总赌本为 $a$ 元，甲有 $i$ 元。每局甲以概率 $p$ 赢1元，以概率 $q$ 输1元。赌局直到一方输光为止。$Q_i$ 就是甲赢光乙所有钱（即甲的赌本达到 $a$）的概率，而 $P_i$ 则是甲输光自己所有钱（赌本变为0）的概率。
• 物理学: 模拟粒子（如分子）在介质中的扩散过程。
• 金融学: 模拟股票价格的随机波动，尽管在实际应用中会使用更复杂的模型。
• 生物学: 模拟动物的觅食行为或种群的迁移。

关联知识点

• 前置知识:
  • 021-理论方法-全概率公式
  • 019-核心概念-条件概率
• 后续知识:
  • 马尔可夫链 (Markov Chain)
  • 布朗运动 (Brownian Motion)