知识点概述

利用母函数（矩母函数MGF或概率母函数PGF）是求解独立随机变量之和的分布的系统性方法。其核心原理在于，独立随机变量和的母函数等于各个变量母函数的乘积。这个性质将复杂的卷积运算转化为了简单的乘法运算，极大地简化了问题。

教材原文

(该方法是母函数性质的直接应用，是标准概率论内容。)

设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是 相互独立 的随机变量，令 $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ 。

对于矩母函数 (MGF): $M_{S_{n}} (t) = M_{X_{1}} (t) \cdot M_{X_{2}} (t) \dots M_{X_{n}} (t)$
对于概率母函数 (PGF) (当变量为非负整数时): $G_{S_{n}} (s) = G_{X_{1}} (s) \cdot G_{X_{2}} (s) \dots G_{X_{n}} (s)$

设 $X_{i}$ ( $i = 1, \dots, n$ ) 是独立同分布的伯努利随机变量， $X_{i} \sim B (1, p)$ 。求 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ 的分布。

解题思路:

单个PGF: 伯努利分布 $X_{i}$ 的PGF为： $G_{X_{i}} (s) = E (s^{X_{i}}) = s^{1} P (X_{i} = 1) + s^{0} P (X_{i} = 0) = p s + (1 - p)$ 。
计算乘积: 由于所有 $X_{i}$ 独立同分布，和的PGF为： $G_{S_{n}} (s) = \prod_{i = 1}^{n} G_{X_{i}} (s) = [p s + (1 - p)]^{n}$ 。
识别分布: 我们发现 $G_{S_{n}} (s)$ 的形式正是二项分布 $B (n, p)$ 的概率母函数。根据唯一性，可以断定 $S_{n} \sim B (n, p)$ 。 *验证：二项分布的PGF为 $\sum_{k = 0}^{n} s^{k} (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) (s p)^{k} (1 - p)^{n - k} = (s p + 1 - p)^{n}$ 。匹配成功。

设 $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ 和 $Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ 相互独立。求 $Z = X + Y$ 的分布。

解题思路:

单个MGF: 正态分布 $N (μ, σ^{2})$ 的MGF为 $M (t) = e^{μ t + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}}$ 。 $M_{X} (t) = e^{μ_{1} t + \frac{1}{2} σ_{1}^{2} t^{2}}$ $M_{Y} (t) = e^{μ_{2} t + \frac{1}{2} σ_{2}^{2} t^{2}}$
计算乘积: $M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (t) = e^{μ_{1} t + \frac{1}{2} σ_{1}^{2} t^{2}} \cdot e^{μ_{2} t + \frac{1}{2} σ_{2}^{2} t^{2}} = e^{(μ_{1} + μ_{2}) t + \frac{1}{2} (σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}) t^{2}}$ 。
识别分布: 我们发现 $Z$ 的MGF仍然是正态分布的MGF形式，其均值参数为 $μ_{1} + μ_{2}$ ，方差参数为 $σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2}$ 。根据唯一性， $Z \sim N (μ_{1} + μ_{2}, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})$ 。