知识点概述

正态随机向量的线性变换是多元正态分布最核心、最根本的性质。它指出，对一个服从多元正态分布的随机向量进行任意的线性变换（矩阵乘法加向量平移），得到的新随机向量仍然服从多元正态分布。这个性质保证了正态分布家族在线性运算下的封闭性，是其在理论和应用中占据核心地位的根本原因。

教材原文

(教材在第三章介绍多元正态的线性变换以后，增加了证明正态总体样本均值与样本方差的独立性一节。这表明线性变换是其核心性质之一。)

设 $X$ 是一个n维正态随机向量，其分布为： $X \sim N (μ, Σ)$

定义一个新的m维随机向量 $Y$ ，它是 $X$ 的线性变换： $Y = AX + b$

其中：

那么， $ma t hb f Y$ 也服从多元正态分布，其均值向量和协方差矩阵为：

即： $Y \sim N (A μ + b, AΣ A^{T})$

均值向量的推导: 利用期望的线性性质。 $E (Y) = E (AX + b) = E (AX) + E (b) = A E (X) + b = A μ + b$ 。
协方差矩阵的推导: 利用协方差矩阵的性质。 $D (Y) = D (AX + b) = D (AX)$ (平移不影响协方差)。根据协方差矩阵的线性变换性质，可得 $D (AX) = A D (X) A^{T} = AΣ A^{T}$ 。

任意线性组合是一维正态分布: 这是多元正态分布的等价定义。如果我们取 $m = 1$ ，那么 $A$ 就是一个 $1 \times n$ 的行向量，记为 $a^{T} = (a_{1}, \dots, a_{n})$ ， $b$ 是一个标量0。那么 $Y = a^{T} X = \sum a_{i} X_{i}$ 就是一个一维随机变量。根据定理， $Y$ 服从一维正态分布，其均值为 $a^{T} μ$ ，方差为 $a^{T} Σa$ 。
边缘分布是正态分布: 如果我们想求子向量（例如前k个分量）的分布，可以构造一个选择矩阵 $A$ （例如，前k行为单位矩阵的对应块，其余为0），通过线性变换 $Y = AX$ 提取出子向量。根据定理，这个子向量仍然服从多元正态分布。
正交变换与独立性: 在主成分分析（PCA）中，我们寻找一个特殊的正交矩阵 $P$ ，对中心化的随机向量 $X - μ$ 进行线性变换 $Y = P^{T} (X - μ)$ 。这个变换的目标是使得新的协方差矩阵 $P^{T} ΣP$ 成为一个对角矩阵。由于新的协方差矩阵非对角元全为0，这意味着新的随机向量 $Y$ 的所有分量都是相互独立的。这实现了从相关的多维数据中提取出不相关的（对于正态分布即独立的）主成分。

记住公式: 必须牢记线性变换后新的均值向量和协方差矩阵的计算公式： $ma t hb f μ_{Y} = A μ_{X} + b$ 和 $ma t hb f Σ_{Y} = A Σ_{X} A^{T}$ 。注意协方差矩阵变换中 $ma t hb f A$ 和其转置 $ma t hb f A^{T}$ 的位置。
理解本质: 理解这个性质是正态分布“家族”保持其特征（正态性）的关键。无论如何对正态向量进行“拉伸”、“旋转”、“平移”（即线性变换），它仍然是正态家族的一员。
应用广泛: 认识到这个性质是许多高级统计方法（如因子分析、主成分分析、卡尔曼滤波）的理论基础。