21-核心概念-凸集

知识点：凸集

知识点概述

凸集是定义凸优化的基础，它指的是集合中任意两点的连线段仍在该集合内。凸集具有优良的几何性质，是优化理论的重要基石。

教材原文

定义2.13 如果连接集合 $C$ 中任意两点的线段都在 $C$ 内，则称 $C$ 为凸集，即

$$x_1,x_2$$

C \theta x _ {1} + (1 - \theta) x _ {2} C, \forall 0 \theta 1.

详细解释

• 定义: 一个集合是凸的，如果从集合中任意选取两个点，连接它们的直线段上的所有点都仍然属于这个集合。
• 重要凸集:
  • 仿射集: 超平面、线性方程组的解集。
  • 基本形状: 半空间、球、椭球、多面体（线性不等式和等式的解集）。
  • 锥: 范数锥、二次锥、半正定锥 ($S_{+}^n$)。
• 保凸运算:
  • 交集: 任意多个凸集的交集仍然是凸集。
  • 仿射变换: 凸集在仿射变换（线性变换+平移）下的像和原像都是凸集。

学习要点

• 牢记凸集的定义。
• 能够识别常见的凸集，如超平面、半空间、球、多面体、半正定锥。
• 掌握保凸运算（交集、仿射变换），并能用它们来证明一个集合是凸的。

实践应用

• 可行域: 在优化问题中，如果由约束条件定义的可行域是一个凸集，那么这个问题就向凸优化迈进了一大步。线性约束（$Axb,Cx=d$）定义的可行域（多面体）就是凸集。

关联知识点

• 前置知识: 无
• 后续知识: 22-核心概念-凸包与仿射包, 23-理论方法-分离超平面定理, 24-核心概念-凸函数, 10-核心概念-凸和非凸优化
• 相关知识: 无