知识点：优化建模技术

知识点概述

优化建模是将实际问题转化为数学优化模型的过程，核心在于设计合适的目标函数和约束条件。这既是一门科学也是一门艺术，不同的建模方式可能导致求解难度截然不同。

3.1.1 目标函数的设计 … 3.1.2 约束的设计

目标函数设计:
- 目的: 目标函数应能准确量化我们希望优化（最大化或最小化）的指标，如成本、利润、误差、风险等。
- 常用形式:
  - 线性函数: 成本、收益。
  - 二次函数/范数: 误差（最小二乘）、风险（方差）。
  - $ℓ_{1}$ 范数: 促进稀疏性。
  - 最大值函数: 鲁棒性，考虑最坏情况。
约束设计:
- 目的: 约束用于描述问题中的物理限制、资源限制、逻辑关系或策略要求。
- 常用形式:
  - 等式约束: $h (x) = 0$ ，如预算必须用完。
  - 不等式约束: $g (x) \leq 0$ ，如资源消耗不能超过上限。
  - 变量界限: $l \leq x \leq u$ ，如产量不能为负。
  - 集合约束: $x \in S$ ，如变量必须为整数。
建模技巧:
- 引入辅助变量: 将复杂的目标或约束拆分为更简单的形式。例如， $min ∥ A x - b ∥_{\infty}$ 可以转化为 $min t$ s.t. $- t 1 \leq A x - b \leq t 1$ 。
- 松弛: 将难解的约束（如整数约束、秩约束）放宽为更易处理的连续约束或凸约束。