006-核心概念-频率与概率的统计定义

知识点概述

频率是事件在n次独立重复试验中发生的次数m与总次数n的比值，即 $F(A)=m/n$。概率的统计定义认为，当试验次数n非常大时，频率会稳定在一个固定值附近，这个稳定值就是事件的概率。

教材原文

在一定条件下，将一随机试验重复 n 次，如果其中事件 A 共发生 m 次，则称 $F(A)=\frac{m}{n}$ 为事件 A 发生的频率。 … 事件发生的频率有稳定性，即当重复试验的次数 n 很大时，每个事件 A 发生的频率 F(A) 有一个稳定值。 … 这种表征在一定条件下事件 A 发生可能性大小的频率稳定值就称作事件 A 的概率，记为 P(A)。

详细解释

• 频率 (Frequency): 描述事件在实际发生的试验中所占比例的量度。它是一个观测值，会随着试验次数的增加而变化。
• 频率的基本性质:
  1. 非负性: $F(A)\ge 0$
  2. 规范性: $F(\Omega )=1$
  3. 可加性: 若事件A与B互不相容，则 $F(A\cup B)=F(A)+F(B)$
• 频率的稳定性: 这是概率论的经验基础。虽然单次试验结果随机，但大量重复试验后，整体结果呈现出显著的规律性，即频率趋于稳定。
• 概率的统计定义: 将概率定义为频率的稳定值。这是一种后验的、经验主义的定义，它将抽象的概率概念与可观测的频率联系起来。

学习要点

• 区分频率与概率: 频率是试验的产物，是一个变化的观测值；概率是随机事件内禀的属性，是一个固定的理论值。频率是概率的近似值。
• 理解频率稳定性的意义: 它是连接理论概率与现实世界的桥梁，也是大数定律所要阐明的核心思想。

实践应用

• 产品次品率估计: 通过对大量产品进行抽检，计算次品出现的频率，以此来估计整批产品的次品率（概率）。
• 保险费率制定: 保险公司通过统计大量历史数据，计算出某类事故发生的频率，并以此为依据来设定保险费率。

关联知识点

• 前置知识:
  • 001-核心概念-随机现象
• 后续知识:
  • 014-核心概念-概率的公理化定义
  • 088-理论方法-Bernoulli大数律