015-核心概念-事件sigma代数

知识点概述

在概率的公理化体系中，事件域（或称事件体、事件代数）是一个由样本空间 $\Omega$ 的子集构成的集合族 $\mathcal{F}$，它必须满足特定的封闭性条件，这个集合族在测度论中被称为 $\sigma$-代数（Sigma-algebra）。其作用是明确哪些子集是可以被赋予概率的“事件”。

教材原文

定义1.4.1 由样本空间 $\Omega$ 的某些子集组成的类 $\mathcal{F}$，如果满足： (1) $\Omega \in \mathcal{F}$ ; (2) 若 $A\in \mathcal{F}$ , 则 $\overline{A}\in \mathcal{F}$ (对逆封闭); (3) 若一切 $A_n\in \mathcal{F}$ , 则 ${\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n\in \mathcal{F}$ (对可列并封闭), 则称 $\mathcal{F}$ 为 $\Omega$ 上的事件 $\sigma$-代数，而 $\mathcal{F}$ 中的集合称作随机事件，简称事件。

详细解释

• 为什么需要 $\sigma$-代数?

  • 在有限或可列样本空间中，通常可以将其所有子集（幂集）都视为事件。但在不可列样本空间（如实数轴）中，存在一些“性质不好”的集合（非博雷尔集），无法用一致的方式赋予它们“长度”或“体积”（即测度）。
  • 为了建立一个严谨的数学理论，我们只对那些“性质良好”的、构成一个 $\sigma$-代数的集合族中的元素（事件）来定义概率。

• $\sigma$-代数的三个条件:

  1. 包含全集: 样本空间 $\Omega$ 本身（必然事件）必须是一个事件。
  2. 对补运算封闭: 如果A是一个事件，那么它的对立事件 $\overline{A}$ 也必须是一个事件。
  3. 对可列并运算封闭: 如果有一列（可数无穷个）事件，那么它们的并集（至少一个发生）也必须是一个事件。这是“$\sigma$”的含义，它保证了代数结构在极限运算下的稳定性。

• 推论性质: 从这三条基本条件可以推导出 $\mathcal{F}$ 对其他运算也封闭：

  • 包含空集 $\varnothing$ (因为 $\varnothing =\overline{\Omega }$)。
  • 对有限并、有限交、可列交、差集等运算都封闭。

• 生成的 $\sigma$-代数: 给定一个任意的子集类 $\mathcal{G}$，包含 $\mathcal{G}$ 的最小的 $\sigma$-代数被称为由 $\mathcal{G}$ 生成的 $\sigma$-代数，记作 $\sigma (\mathcal{G})$。这是构造具体 $\sigma$-代数的常用方法。

• Borel $\sigma$-代数 (Borel集类): 在实数轴 $\mathbb{R}$ 上，由所有开区间（或半直线）生成的 $\sigma$-代数，记为 $\mathcal{B}$。它包含了所有在分析中常见的集合类型，是定义连续型随机变量的基础。

学习要点

• 理解 $\sigma$-代数的目的: 它的作用是提供一个“事件”的集合，这个集合足够大，包含了所有我们关心的结果，并且其结构足够好（对可列运算封闭），可以在其上稳定地定义概率测度。
• 掌握三个定义条件: 这是判断一个集合族是否为 $\sigma$-代数的标准。

关联知识点

• 前置知识:
  • 014-核心概念-概率的公理化定义
• 后续知识:
  • 016-核心概念-概率测度
  • 018-理论方法-单调类定理
  • 027-核心概念-随机变量的定义