027-核心概念-随机变量的定义

知识点概述

随机变量是概率论中的核心概念，它是一个将随机试验的每个结果（样本点）映射到一个实数的函数。它使得我们可以用数学工具（如函数、微积分）来分析和研究随机现象。

教材原文

随机试验的结果经常是数量。…有的随机试验的结果虽不是数，但可以将它数量化。…作为随机试验的结果，这些数量与以往用来表示时间，位移等的变量有很大不同，那就是其取值的变化情况取决于随机试验的结果，因而是不能完全预言的。这种随机地取值的变量就是随机变量。

定义2.1.1 设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 为概率空间， $\xi =\xi (\omega )$ 为 $\Omega$ 上定义的实值函数．如果有 $\left\{\omega :\xi (\omega )<x\right\}\in \mathcal{F},\text{任}x\in \mathbb{R},(\mathrm{2.1.3})$ 则称 $\xi (\omega )$ 为随机变量.

实际上，随机变量就是 $\Omega$ 上关于 $\mathcal{F}$ 可测的实值函数。今后时常省略 $\omega$ ，而将 $\xi (\omega ),\{\omega :\xi (\omega )<x\}$ 等简写为 $\xi ,\{\xi <x\}$ 等。

详细解释

1. 从样本点到实数: 随机变量的本质是一个函数，它的定义域是样本空间 $\Omega$，值域是实数集 $\mathbb{R}$。它为每一个可能出现的、可能是非数量化的试验结果 $\omega$（例如“正面朝上”、“产品合格”）赋予一个具体的数值 $\xi (\omega )$。

2. 为什么需要随机变量:

   • 量化: 将各种类型的随机结果统一到实数轴上进行研究，使得我们可以运用强大的数学分析工具。
   • 简化: 我们通常不关心试验结果的所有细节，只关心与结果相关的某个数值特征。例如，抛10次硬币，我们可能只关心正面朝上的次数，而不关心具体的正反序列。随机变量（正面朝上的次数）就从复杂的样本空间（$2^{10}$个可能序列）中提取了我们关心的信息。

3. 可测性 (Measurability) 的要求:

   • 定义中的条件 {\omega : \xi(\omega) < x} \in \mathcal{F} 是一个至关重要的技术性要求，称为可测性。
   • 直观解释: $\mathcal{F}$ 是我们事先定义好的、所有可以讨论概率的“事件”的集合。这个条件要求，对于任何一个实数 $x$，“随机变量 $\xi$ 的取值小于 $x$”这件事，必须是一个我们能确定其概率的、合法的事件。
   • 为什么重要: 如果这个条件不满足，我们就无法讨论诸如 $P(\xi <x)$ 这样的概率，那么随机变量就失去了其作为概率分析工具的意义。幸运的是，在实际应用中我们遇到的绝大多数函数都满足这个可测性要求。

学习要点

• 核心身份: 随机变量是一个函数，而不是一个传统的变量。
• 映射关系: 它将样本空间 $\Omega$ 中的样本点 $\omega$ 映射到实数 $\xi (\omega )$。
• 可测性: 理解随机变量定义中可测性条件 {\xi < x} 必须是一个事件的直观含义，即我们可以对随机变量的取值范围提问并计算其概率。

实践应用

• 抛硬币: 样本空间 $\Omega =\{\text{正面, 反面}\}$。定义随机变量 $X$： $X(\text{正面})=1$ $X(\text{反面})=0$ 这样就把非数值的结果转化为了数值。

• 掷骰子: 样本空间 $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$。试验结果本身就是数值，所以可以定义一个最自然的随机变量 $Y(\omega )=\omega$，其中 $\omega \in \Omega$。

• 产品检验: 从一批产品中抽检100件，我们关心的可能是次品数。样本点 $\omega$ 是一个具体的抽检结果（例如，第3、17、88号产品是次品），随机变量 $Z(\omega )$ 就是这次抽检中次品的总数，比如 $Z(\omega )=3$。

关联知识点

• 前置知识:
  • 003-核心概念-样本空间
  • 004-核心概念-随机事件
  • 015-核心概念-事件sigma代数
• 后续知识:
  • 028-核心概念-分布函数及其性质
  • 029-核心概念-离散型随机变量与密度阵
  • 030-核心概念-连续型随机变量与密度函数