029-核心概念-离散型随机变量与密度阵

知识点概述

离散型随机变量是指其全部可能取值是有限个或可列无限多个的随机变量。其概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）来描述，教材中称为“密度阵”或分布列，它给出了随机变量取每一个可能值的概率。

教材原文

(例2.1.1) …所需旅费就是 $\Omega$ 上定义的如下实值函数 \xi (\omega) = \left\{ \begin{array}{l l} {1 0 0,} & {\text {若} \omega = \omega_ {1},} \\ {2 0 0,} & {\text {若} \omega = \bar {\omega} _ {2},} \\ {3 0 0,} & {\text {若} \omega = \omega_ {3}.} \end{array} \right. \tag {2.1.1}$ 当然，我们不仅要关心旅费 $\xi (\omega)$ 的可能值，还要关心它取各个可能值的概率．由前面的假设可知 P {\xi = 1 0 0 } = P {\xi = 3 0 0 } = \frac {1}{4}, \quad P {\xi = 2 0 0 } = \frac {1}{2}.$$ (其分布函数)是一个阶梯函数，它在 $x=100$ ，200，300处依次有跃度为 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ 的跳跃．

(教材中未明确给出“密度阵”的定义，而是通过例子和分布函数的跃度来引入离散型变量的概率描述。现代概率论通常称之为概率质量函数或分布列。)

详细解释

1. 定义: 一个随机变量 $\xi$ 如果只能取有限个或可数个离散值 $x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$，则称其为离散型随机变量。

2. 概率质量函数 (PMF) / 分布列 / 密度阵:

   • 描述离散型随机变量概率分布的工具是概率质量函数 (PMF)，通常记为 $p(x)$ 或 $P(\xi =x)$。教材中亦称之为分布列或密度阵。
   • 它直接给出了随机变量 $\xi$ 取每个可能值 $x_k$ 的概率： $p_k=P(\xi =x_k),k=1,2,\dots$
   • 分布列通常用一个表格来表示：

$\xi$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$	$\dots$
P	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$	$\dots$

3. PMF的性质:

   • 非负性: 对任意一个可能值 $x_k$，其概率必须非负，即 $p_k=P(\xi =x_k)\ge 0$。
   • 归一性: 所有可能取值的概率之和必须等于1，即 ${\sum }_{k}P(\xi =x_k)=1$。

4. 与分布函数的关系:

   • 离散型随机变量的分布函数 $F(x)=P(\xi <x)$ 是一个阶梯函数。
   • 函数在每个 $x_k$ 处发生跳跃，跳跃的高度（跃度）恰好等于随机变量在该点取值的概率 $p_k=P(\xi =x_k)$。
   • 可以通过PMF来构建分布函数：$F(x)={\sum }_{x_k<x}P(\xi =x_k)$，即把所有小于 $x$ 的可能值点的概率累加起来。

学习要点

• 理解离散型随机变量的“离散”含义：取值是可数的、孤立的点。
• 掌握概率质量函数（分布列）的定义和两个基本性质（非负性、归一性）。
• 能够根据问题的描述写出离散型随机变量的分布列。
• 理解分布列和分布函数之间的关系：分布列是“点”的概率，分布函数是“累积”的概率；分布函数的跳跃点和跃度对应分布列的取值和概率。

实践应用

例题: 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为0.6。令随机变量 $X$ 为抛掷一次的结果，若为正面 $X=1$，若为反面 $X=0$。写出 $X$ 的分布列和分布函数。

解题思路:

1. 确定可能取值: 随机变量 $X$ 的可能取值为 0 和 1。
2. 计算各点概率 (PMF):
   • $P(X=1)=P(\text{正面})=0.6$
   • $P(X=0)=P(\text{反面})=1-0.6=0.4$
3. 写出分布列:

$X$	0	1
P	0.4	0.6

4. 构建分布函数 $F(x)=P(X<x)$:
   • 当 $x\le 0$ 时，没有任何可能值小于 $x$，所以 $F(x)=0$。
   • 当 $0<x\le 1$ 时，只有一个可能值 0 小于 $x$，所以 $F(x)=P(X=0)=0.4$。
   • 当 $x>1$ 时，可能值 0 和 1 都小于 $x$，所以 $F(x)=P(X=0)+P(X=1)=0.4+0.6=1$。
   • 综上所述，分布函数为： $F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\\ 0.4,& 0<x\le 1\\ 1,& x>1\end{array}$ 这是一个在0和1处有跳跃的阶梯函数。

关联知识点

• 前置知识:
  • 027-核心概念-随机变量的定义
  • 028-核心概念-分布函数及其性质
• 后续知识:
  • 032-理论方法-二项分布
  • 037-理论方法-Poisson分布
  • 033-理论方法-几何分布
  • 059-核心概念-数学期望的定义 (离散型)