054-技术实现-离散型随机变量函数的分布

知识点概述

求离散型随机变量函数的分布，是指已知一个或多个离散型随机变量的（联合）分布列，需要求出由这些变量构成的某个新函数 $Y=g(X_1,X_2,\dots )$ 的分布列。核心方法是“合并同类项”：找出新变量 $Y$ 的所有可能取值，并对每一种取值，找到所有能产生该取值的原始变量组合，然后将这些组合的概率相加。

教材原文

(教材在2.7节标题“随机变量函数的分布”下隐含了此方法，其解法是标准概率论内容。)

详细解释

一、单个离散型随机变量的函数

设已知离散型随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=x_i)=p_i$，求 $Y=g(X)$ 的分布列。

方法步骤:

1. 确定Y的可能取值: 遍历 $X$ 的所有可能取值 $x_i$，计算出对应的新变量 $Y$ 的所有可能取值 $y_j=g(x_i)$。注意去除重复值。
2. 计算Y取每个值的概率: 对于 $Y$ 的每一个可能取值 $y_j$，找到所有满足 $g(x_i)=y_j$ 的原始值 $x_i$。
3. 合并概率: 将所有这些能得到 $y_j$ 的原始 $x_i$ 的概率相加，就得到了 $P(Y=y_j)$。 $P(Y=y_j)={\sum }_{i:g(x_i)=y_j}P(X=x_i)$

例题: 设 $X$ 的分布列为：

$X$	-1	0	1	2
P	0.2	0.3	0.4	0.1

求 $Y=X^2$ 的分布列。

解题思路:

1. Y的可能取值:
   • $X=-1⟹Y=(-1{)}^2=1$
   • $X=0⟹Y=0^2=0$
   • $X=1⟹Y=1^2=1$
   • $X=2⟹Y=2^2=4$ $Y$ 的所有可能取值为 $\{0,1,4\}$。
2. 计算各值概率:
   • $P(Y=0)=P(X^2=0)=P(X=0)=0.3$
   • $P(Y=1)=P(X^2=1)=P(X=-1)+P(X=1)=0.2+0.4=0.6$
   • $P(Y=4)=P(X^2=4)=P(X=2)=0.1$
3. 写出Y的分布列:

$Y$	0	1	4
P	0.3	0.6	0.1

(检查: $0.3+0.6+0.1=1$，正确。)

二、两个离散型随机变量的函数

设已知二维离散型随机向量 $(X,Y)$ 的联合分布列为 $P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$，求 $Z=g(X,Y)$ 的分布列。

方法步骤:

1. 确定Z的可能取值: 遍历 $(X,Y)$ 的所有可能取值对 $(x_i,y_j)$，计算出 $Z$ 的所有可能取值 $z_k=g(x_i,y_j)$，并去除重复值。
2. 计算Z取每个值的概率: 对于 $Z$ 的每一个可能取值 $z_k$，找到所有满足 $g(x_i,y_j)=z_k$ 的原始值对 $(x_i,y_j)$。
3. 合并概率: 将所有这些能得到 $z_k$ 的原始值对 $(x_i,y_j)$ 的联合概率 $p_{ij}$ 相加，就得到了 $P(Z=z_k)$。 $P(Z=z_k)={\sum }_{(i,j):g(x_i,y_j)=z_k}P(X=x_i,Y=y_j)$

例题: 设 $(X,Y)$ 的联合分布列如下，求 $Z=X+Y$ 的分布列。

$Y\setminus X$	0	1
0	0.1	0.2
1	0.3	0.4

解题思路:

1. Z的可能取值:
   • $X=0,Y=0⟹Z=0+0=0$
   • $X=1,Y=0⟹Z=1+0=1$
   • $X=0,Y=1⟹Z=0+1=1$
   • $X=1,Y=1⟹Z=1+1=2$ $Z$ 的所有可能取值为 $\{0,1,2\}$。
2. 计算各值概率:
   • $P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0.1$
   • $P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.2+0.3=0.5$
   • $P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=0.4$
3. 写出Z的分布列:

$Z$	0	1	2
P	0.1	0.5	0.4

(检查: $0.1+0.5+0.4=1$，正确。)

学习要点

• 核心方法论是**“先分类，再合并”**。
• 分类: 找出新随机变量的每一个可能取值。
• 合并: 对每一个取值，找到所有能导致该取值的“原像”（原始变量的取值或取值组合），然后将这些“原像”的概率全部加起来。
• 对于二维变量的函数，最清晰的方法是列出所有 $(x_i,y_j)$ 的组合，计算出对应的 $g(x_i,y_j)$ 值，以及该组合的概率 $p_{ij}$，然后将 $g(x_i,y_j)$ 值相同的项的概率相加。

关联知识点

• 前置知识:
  • 029-核心概念-离散型随机变量与密度阵
  • 047-核心概念-二维离散型分布
• 后续知识:
  • 055-技术实现-连续型随机变量函数的分布
  • 056-理论方法-卷积公式 (当 $Z=X+Y$ 且X,Y独立时，求Z的分布的系统方法)