知识点概述

求连续型随机变量函数的分布，是指已知一个或多个连续型随机变量的（联合）概率密度函数（PDF），需要求出由这些变量构成的某个新函数 $Y = g (X_{1}, X_{2}, \dots)$ 的概率密度函数。最常用的通用方法是分布函数法。

教材原文

(教材在2.7节标题“随机变量函数的分布”下隐含了此方法，其解法是标准概率论内容。)

这是求解连续型随机变量函数分布的最基本、最通用的方法。其核心思想是“先求分布函数，再求密度函数”。

方法步骤 (以 $Y = g (X)$ 为例):

写出Y的分布函数定义: 根据定义，新变量 $Y$ 的分布函数是 $F_{Y} (y) = P (Y \leq y)$ 。
变量代换: 将 $Y = g (X)$ 代入，得到 $F_{Y} (y) = P (g (X) \leq y)$ 。
解不等式: 在 $g (X) \leq y$ 中，解出 $X$ 的范围。这一步是关键，可能需要根据 $y$ 的不同取值进行分类讨论。假设可以解出 $X \leq h (y)$ 。
用X的分布计算概率: 将解出的 $X$ 的范围代入，用 $X$ 的已知分布函数 $F_{X} (x)$ 或密度函数 $f_{X} (x)$ 来表示 $F_{Y} (y)$ 。 $F_{Y} (y) = P (X \leq h (y)) = F_{X} (h (y)) = \int_{- \infty}^{h (y)} f_{X} (x) d x$
求导得Y的密度函数: 对 $F_{Y} (y)$ 求导，即可得到 $Y$ 的概率密度函数 $f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y)$ 。

例题1: 单个变量的函数

设随机变量 $X \sim U (0, 1)$ ，即在(0,1)上服从均匀分布。求 $Y = - 2 ln X$ 的概率分布。

解题思路 (分布函数法):

Y的范围: 因为 $X \in (0, 1)$ ，所以 $ln X \in (- \infty, 0)$ ，因此 $Y = - 2 ln X \in (0, + \infty)$ 。
写出Y的CDF: 对于任意 $y > 0$ ， $F_{Y} (y) = P (Y \leq y)$ 。
变量代换: $P (- 2 ln X \leq y)$ 。
解不等式: $- 2 ln X \leq y ⟹ ln X \geq - y /2 ⟹ X \geq e^{- y /2}$ 。
用X的分布计算: $F_{Y} (y) = P (X \geq e^{- y /2})$ 。因为 $X$ 在 $(0, 1)$ 上均匀分布，其PDF为 $f_{X} (x) = 1$ ( $0 < x < 1$ )，CDF为 $F_{X} (x) = x$ ( $0 < x < 1$ )。 $P (X \geq e^{- y /2}) = 1 - P (X < e^{- y /2}) = 1 - F_{X} (e^{- y /2})$ 。由于 $y > 0$ ，所以 $e^{- y /2} \in (0, 1)$ ，因此 $F_{X} (e^{- y /2}) = e^{- y /2}$ 。所以， $F_{Y} (y) = 1 - e^{- y /2}$ (当 $y > 0$ 时)。
求导得Y的PDF: $f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = \frac{d}{d y} (1 - e^{- y /2}) = \frac{1}{2} e^{- y /2}$ (当 $y > 0$ 时)。

结论: $Y$ 服从参数为 $λ = 1/2$ 的042-理论方法-指数分布。

例题2: 两个变量的函数 (以 $Z = X + Y$ 为例)

设 $X, Y$ 是相互独立的随机变量，其PDF分别为 $f_{X} (x)$ 和 $f_{Y} (y)$ 。求 $Z = X + Y$ 的PDF $f_{Z} (z)$ 。

解题思路 (分布函数法):

写出Z的CDF: $F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z)$ 。
转化为二重积分: 这个概率等于联合密度函数 $f (x, y)$ 在区域 $D = {(x, y) ∣ x + y \leq z}$ 上的积分。 $F_{Z} (z) = \iint_{x + y \leq z} f (x, y) d x d y$
利用独立性: 因为 $X, Y$ 独立，所以 $f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$ 。 $F_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} (\int_{- \infty}^{z - y} f_{X} (x) d x) f_{Y} (y) d y = \int_{- \infty}^{\infty} F_{X} (z - y) f_{Y} (y) d y$
求导得Z的PDF: 使用莱布尼茨积分法则对 $z$ 求导： $f_{Z} (z) = F_{Z}^{'} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{d}{d z} F_{X} (z - y) f_{Y} (y) d y = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (z - y) f_{Y} (y) d y$

前置知识:
- 030-核心概念-连续型随机变量与密度函数
- 048-核心概念-二维连续型分布
后续知识:
- 056-理论方法-卷积公式 (分布函数法在求解独立变量之和问题时的特例和推广)
- 057-技术实现-最大值与最小值的分布 (求解 $M = max (X, Y)$ 和 $N = min (X, Y)$ 分布的快捷方法)