048-核心概念-二维连续型分布

知识点概述

二维连续型随机向量是指其两个分量 $(X,Y)$ 的取值可以在一个二维平面区域内连续变化的随机向量。其概率特性由联合概率密度函数（Joint Probability Density Function, Joint PDF）$f(x,y)$ 来描述，随机向量落在某个区域的概率等于其联合PDF在该区域上的二重积分。

教材原文

(教材在2.5节标题“多维概率分布”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容。)

详细解释

1. 定义:

   • 如果一个二维随机向量 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 可以表示为一个非负函数 $f(u,v)$ 的积分形式： $F(x,y)={\int }_{-\infty }^y{\int }_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv$
   • 则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机向量，函数 $f(x,y)$ 称为 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数 (Joint PDF)。

2. 联合概率密度函数 (Joint PDF) $f(x,y)$:

   • 直观理解: $f(x,y)$ 本身不是概率。它描述的是随机向量 $(X,Y)$ 在点 $(x,y)$ 附近一个极小单位面积内取值的概率密度。$f(x,y)$ 的值越大，意味着随机向量在该点附近取值的可能性越高。
   • 计算概率: 随机向量 $(X,Y)$ 落入某个平面区域 $D$ 内的概率等于其Joint PDF在该区域上的二重积分： $P((X,Y)\in D)={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$ 这在几何上等于密度函数曲面下方，区域 $D$ 上方的体积。

3. Joint PDF的性质:

   • 非负性: 对任意 $(x,y)$，有 $f(x,y)\ge 0$。
   • 归一性: 联合密度函数在整个二维平面上的积分必须等于1。 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy=1$

4. 与联合分布函数的关系:

   • 积分关系: 联合分布函数 $F(x,y)$ 是联合密度函数 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 左下方的无限区域上的积分。
   • 微分关系: 在 $f(x,y)$ 的连续点上，联合密度函数是联合分布函数的混合偏导数。 $f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$

5. 边缘分布 (Marginal Distribution):

   • 从联合密度函数 $f(x,y)$ 出发，可以通过积分求得每个单独变量的边缘概率密度函数。
   • $X$的边缘密度函数: 对 $y$ 在整个实数轴上进行积分。 $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
   • $Y$的边缘密度函数: 对 $x$ 在整个实数轴上进行积分。 $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

学习要点

• 理解联合PDF $f(x,y)$ 是“密度”而非概率，其在某个区域上的二重积分才是概率。
• 掌握联合PDF的两个核心性质：非负性和积分为1。
• 核心技能：能够从联合PDF $f(x,y)$ 中，通过对另一个变量积分的方式，计算出两个变量的边缘PDF。
• 核心技能：能够根据给定的区域 $D$，建立正确的二重积分来计算 $P((X,Y)\in D)$。
• 牢记对于连续型随机向量，其在任何一个点或一条线上取值的概率都为0。

实践应用

例题: 假设一个二维随机向量 $(X,Y)$ 的联合PDF为 $f(x,y)=6e^{-2x-3y}$，其中 $x>0,y>0$。求 $P(X>1,Y<1)$。

解题思路:

1. 确定积分区域: 我们要求的概率对应于平面区域 $D=\{(x,y)|x>1,0<y<1\}$。
2. 建立二重积分: $P(X>1,Y<1)={\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_0^1{\int }_1^{\infty }6e^{-2x-3y}dxdy$
3. 执行积分:
   • 可以利用 $f(x,y)=(2e^{-2x})(3e^{-3y})$ 的形式，这是一个变量可分离的情况。
   • $P(X>1,Y<1)=\left({\int }_1^{\infty }2e^{-2x}dx\right)\times \left({\int }_0^{1}3e^{-3y}dy\right)$
   • 计算第一个积分（$X$的部分）: ${\int }_1^{\infty }2e^{-2x}dx=[-e^{-2x}{]}_1^{\infty }=0-(-e^{-2})=e^{-2}$。
   • 计算第二个积分（$Y$的部分）: ${\int }_0^{1}3e^{-3y}dy=[-e^{-3y}{]}_0^1=(-e^{-3})-(-e^0)=1-e^{-3}$。
4. 得出结果: $P(X>1,Y<1)=e^{-2}(1-e^{-3})$。 (注: 这个例子中X和Y是独立的，所以可以直接将边缘概率相乘，但使用二重积分是更通用的方法)

关联知识点

• 前置知识:
  • 044-核心概念-随机向量
  • 030-核心概念-连续型随机变量与密度函数
  • 045-核心概念-联合分布函数
• 后续知识:
  • 046-核心概念-边缘分布函数
  • 049-理论方法-二维均匀分布
  • 050-理论方法-二维正态分布
  • 051-核心概念-条件分布