046-核心概念-边缘分布函数

知识点概述

边缘分布函数（Marginal Distribution Function）是指在多维随机向量的联合分布中，只考虑其中某一个或某几个分量（随机变量）的概率分布，而忽略其他分量的影响。它是从联合分布中“提取”出单个变量分布信息的方法。

教材原文

(教材在2.5节标题“多维概率分布”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容。)

详细解释

1. 定义:

   • 假设我们有一个n维随机向量 $\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 和它的045-核心概念-联合分布函数 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$。
   • 随机变量 $X_i$ 的边缘分布函数，记为 $F_{X_i}(x_i)$，是通过将联合分布函数中除了 $x_i$ 之外的所有其他变量 $x_j$ ($j\ne i$) 都取极限到 $+\infty$ 得到的。
   • 例如，对于随机变量 $X_1$，其边缘分布函数为： $F_{X_1}(x_1)=P(X_1<x_1)=P(X_1<x_1,X_2<\infty ,\dots ,X_n<\infty )$ $F_{X_1}(x_1)={\lim }_{x_2\to \infty ,\dots ,x_n\to \infty }F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=F(x_1,+\infty ,\dots ,+\infty )$

2. 以二维为例:

   • 对于二维随机向量 $(X,Y)$，其联合分布函数为 $F(x,y)$。
   • $X$ 的边缘分布函数 $F_X(x)$ 是： $F_X(x)=P(X<x)=P(X<x,Y<\infty )={\lim }_{y\to \infty }F(x,y)=F(x,+\infty )$
   • $Y$ 的边缘分布函数 $F_Y(y)$ 是： $F_Y(y)=P(Y<y)=P(X<\infty ,Y<y)={\lim }_{x\to \infty }F(x,y)=F(+\infty ,y)$

3. 从联合密度函数求边缘密度函数:

   • 对于离散型随机向量，边缘概率质量函数 (PMF) 是通过将联合PMF对另一个变量的所有可能值求和得到的：
     • $P_X(x_i)=P(X=x_i)={\sum }_{j}P(X=x_i,Y=y_j)$
     • $P_Y(y_j)=P(Y=y_j)={\sum }_{i}P(X=x_i,Y=y_j)$
   • 对于连续型随机向量，边缘概率密度函数 (PDF) 是通过将联合PDF对另一个变量在整个实数轴上积分得到的：
     • $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$
     • $f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$
   • 这个过程可以直观地理解为将多维概率“质量”在某个维度上“压缩”或“投影”到该维度的坐标轴上。

学习要点

• 理解边缘分布的本质：“只看部分，忽略其他”。它是从一个联合的、多维的视角，回到我们熟悉的、单个变量的一维视角。
• 掌握从联合分布函数 $F(x,y)$ 求解边缘分布函数 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$ 的方法：将被忽略的变量取极限到 $+\infty$。
• 掌握从联合密度函数（离散的PMF或连续的PDF）求解边缘密度函数的方法：将被忽略的变量求和（离散）或积分（连续）。
• 重要警示: 知道所有的边缘分布不能反推出联合分布（除非变量是独立的）。边缘分布只包含每个变量各自的信息，而丢失了它们之间相互关系的信息。联合分布包含的信息比所有边缘分布信息的总和要多。

实践应用

例题: 在一个二维平面上，联合概率密度函数为 $f(x,y)=24xy$，其中 $x>0,y>0,x+y<1$。求 $X$ 的边缘概率密度函数 $f_X(x)$。

解题思路:

1. 确定积分变量和范围: 我们要求 $f_X(x)$，所以需要对 $y$ 进行积分。关键是确定在给定 $x$ 的情况下，$y$ 的积分范围。
2. 分析定义域: 随机向量 $(X,Y)$ 的定义域是由 $x=0,y=0,x+y=1$ 三条直线围成的三角形区域。对于一个固定的 $x$ (其中 $0<x<1$)，$y$ 的取值范围是从 $0$ 到 $1-x$。
3. 执行积分: $f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_0^{1-x}24xydy$ 将 $x$ 视为常数，对 $y$ 积分： $f_X(x)=24x{\left[\frac{1}{2}{y}^2\right]}_0^{1-x}=12x(1-x{)}^2$
4. 给出完整定义: 别忘了 $x$ 本身的范围。 $f_X(x)=\{\begin{array}{llc}12x(1-x{)}^2,& 0<x<10,& \text{其他}\end{array}$ 可以验证 ${\int }_0^{1}12x(1-x{)}^{2}dx=1$，所以它是一个合法的密度函数。

关联知识点

• 前置知识:
  • 045-核心概念-联合分布函数
  • 047-核心概念-二维离散型分布
  • 048-核心概念-二维连续型分布
• 后续知识:
  • 052-核心概念-随机变量的独立性 (如果 $F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$ 或 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则X和Y独立)
  • 051-核心概念-条件分布 (边缘分布是计算条件分布的基础)