知识点概述

条件分布（Conditional Distribution）描述的是在一个多维随机向量中，当我们已知其中一个或多个分量（变量）的取值后，剩余分量（变量）的概率分布。它是在获得部分信息后，对不确定性进行更新的关键工具。

教材原文

(教材在2.5节标题“多维概率分布”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容。)

条件分布的定义根据随机变量是离散型还是连续型而有所不同。

定义: 对于二维离散型随机向量 $(X, Y)$ ，其联合概率质量函数 (PMF) 为 $P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ 。
- 在给定 $Y = y_{j}$ 的条件下， $X$ 的条件概率质量函数为： $P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) = \frac{P ( X = x _{i} , Y = y _{j} )}{P ( Y = y _{j} )}$ 其中 $P (Y = y_{j})$ 是 $Y$ 的边缘概率，且必须大于0。
- 同样，在给定 $X = x_{i}$ 的条件下， $Y$ 的条件PMF为： $P (Y = y_{j} ∣ X = x_{i}) = \frac{P ( X = x _{i} , Y = y _{j} )}{P ( X = x _{i} )}$
性质: 对于一个固定的条件（如 $Y = y_{j}$ ），条件PMF $P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j})$ 作为 $x_{i}$ 的函数，满足所有单变量PMF的性质（非负性、归一性 $\sum_{i} P (X = x_{i} ∣ Y = y_{j}) = 1$ ）。

定义: 对于二维连续型随机向量 $(X, Y)$ ，其联合概率密度函数 (PDF) 为 $f (x, y)$ 。
- 在给定 $Y = y$ 的条件下， $X$ 的条件概率密度函数为： $f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = \frac{f ( x , y )}{f _{Y} ( y )}$ 其中 $f_{Y} (y)$ 是 $Y$ 的边缘密度函数，且必须大于0。
- 同样，在给定 $X = x$ 的条件下， $Y$ 的条件PDF为： $f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = \frac{f ( x , y )}{f _{X} ( x )}$
性质: 对于一个固定的条件（如 $Y = y$ ），条件PDF $f_{X ∣ Y} (x ∣ y)$ 作为 $x$ 的函数，满足所有单变量PDF的性质（非负性、积分为1 $\int_{- \infty}^{\infty} f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x = 1$ ）。
计算条件概率: 利用条件密度函数，可以计算在给定条件下，随机变量落在某个区间的概率。 $P (a < X < b ∣ Y = y) = \int_{a}^{b} f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d x$

例题: 假设一个二维随机向量 $(X, Y)$ 在由 $x = 0, y = 0, x + y = 1$ 围成的三角形区域上服从二维均匀分布。求在已知 $X = 1/3$ 的条件下， $Y$ 的条件概率密度函数 $f_{Y ∣ X} (y ∣1/3)$ 。

解题思路:

写出联合PDF: 该三角形区域面积为 $1/2$ ，所以联合PDF为 $f (x, y) = 2$ （当 $(x, y)$ 在三角形内时），其他情况为0。
计算边缘PDF $f_{X} (x)$ : 对于一个固定的 $x in (0, 1)$ ， $y$ 的范围是 $[0, 1 - x]$ 。 $f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d y = \int_{0}^{1 - x} 2 d y = 2 (1 - x)$ ，其中 $0 < x < 1$ 。
求 $f_{X} (1/3)$ : $f_{X} (1/3) = 2 (1 - 1/3) = 4/3$ 。
应用公式求条件PDF: $f_{Y ∣ X} (y ∣1/3) = \frac{f ( 1/3 , y )}{f _{X} ( 1/3 )}$
- 首先，确定当 $x = 1/3$ 时， $y$ 的取值范围。从 $x + y < 1$ 可知， $y < 1 - x = 2/3$ 。所以 $y$ 的范围是 $(0, 2/3)$ 。
- 在这个范围内， $f (1/3, y) = 2$ 。
- 因此， $f_{Y ∣ X} (y ∣1/3) = \frac{2}{4/3} = \frac{3}{2}, 0 < y < 2/3$
给出完整定义: $f_{Y ∣ X} (y ∣1/3) = {3/2, 0 < y < 2/3 0, 其他$ 这是一个在区间 $(0, 2/3)$ 上的均匀分布。这说明，如果已知 $X = 1/3$ ，那么 $Y$ 就在 $(0, 2/3)$ 这个线段上均匀分布。