044-核心概念-随机向量

知识点概述

随机向量（Random Vector），又称多维随机变量，是将单个随机变量的概念推广到多维空间的结果。它是由定义在同一个概率空间上的多个随机变量组成的向量。随机向量是研究多个随机现象之间相互关系的数学工具。

教材原文

(教材在2.5节标题“多维概率分布”中引入了该概念。一个多维概率分布就是用来描述一个随机向量的。)

详细解释

1. 定义:

   • 给定一个概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$，以及定义在该空间上的 $n$ 个随机变量 $X_1,X_2,\dots ,X_n$。
   • 由这 $n$ 个随机变量组成的向量 $\mathbf{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 就被称为一个 n维随机向量。
   • 从函数的角度看，随机向量是一个从样本空间 $\Omega$ 到 $n$ 维欧氏空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的映射： $\mathbf{X}(\omega )=(X_1(\omega ),X_2(\omega ),\dots ,X_n(\omega ))$
   • 其中，对于每一个样本点 $\omega \in \Omega$，随机向量都给它对应一个 $n$ 维空间中的点。

2. 为什么需要随机向量:

   • 在很多实际问题中，我们常常需要同时关心一个随机试验的多个不同侧面。单个随机变量无法描述这些侧面之间的相互联系。
   • 例如: 考察一个班级学生的身高和体重。我们可以定义两个随机变量：$X$ 表示身高，$Y$ 表示体重。单独看，$X$ 和 $Y$ 各自服从某种分布。但我们更关心它们之间的关系（例如，身高较高的人体重是否也倾向于较重）。为了研究这种关系，我们必须把它们作为一个整体，即一个二维随机向量 $(X,Y)$，来进行分析。

3. 可测性要求:

   • 与一维随机变量类似，随机向量也需要满足可测性要求。即对于 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中的任意一个“可测矩形” $B=(-\infty ,x_1]\times (-\infty ,x_2]\times \cdots \times (-\infty ,x_n]$，其原像必须是样本空间 $\Omega$ 中的一个事件： $\{\omega :X_1(\omega )\le x_1,\dots ,X_n(\omega )\le x_n\}\in \mathcal{F}$
   • 这个条件保证了我们可以讨论随机向量落在某个区域内的概率，这是后续定义045-核心概念-联合分布函数的基础。

学习要点

• 理解随机向量是多个随机变量的集合，是一个从样本空间到多维空间的映射。
• 明白引入随机向量的目的是为了研究多个随机变量之间的相互关系。
• 最常见的是二维随机向量 $(X,Y)$，它是理解多维随机向量的基础。
• 随机向量的概率特性由其联合分布来描述。

实践应用

• 气象学: 描述一个城市的每日天气状况，可以使用的随机向量是 (最高温度, 最低温度, 湿度, 风速)。
• 金融学: 描述一组股票的日收益率，可以使用的随机向量是 (股票A收益率, 股票B收益率, …, 股票Z收益率)。分析这个向量有助于理解不同股票价格波动的相关性，是构建投资组合的基础。
• 图像处理: 一张数字图片可以看作一个巨大的随机向量，每个分量代表一个像素点的颜色值。
• 机器学习: 在分类任务中，一个样本的特征（features）通常表示为一个随机向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_d)$，模型的目标就是学习这个向量与其标签 $y$ 之间的关系。

关联知识点

• 前置知识:
  • 027-核心概念-随机变量的定义
• 后续知识:
  • 045-核心概念-联合分布函数 (描述随机向量概率分布的工具)
  • 046-核心概念-边缘分布函数 (从联合分布中提取单个随机变量的分布)
  • 047-核心概念-二维离散型分布
  • 048-核心概念-二维连续型分布
  • 052-核心概念-随机变量的独立性 (描述随机向量各分量之间关系的一种极端情况)
  • 064-核心概念-协方差与协方差阵 (衡量随机向量各分量之间线性关系强弱的工具)