058-技术实现-随机数的产生

知识点概述

随机数的产生，特指生成服从任意指定概率分布的随机数，是进行蒙特卡洛模拟和一切随机仿真的基础。其核心思想是，绝大多数计算机程序只能直接生成服从标准均匀分布 $U(0,1)$ 的随机数，而我们需要通过对这些均匀分布的随机数进行数学变换，来得到服从其他特定分布（如正态分布、指数分布等）的随机数。最基本和最重要的方法是反函数变换法（Inverse Transform Sampling）。

教材原文

(该主题是概率论应用的重要一环，在教材提供的片段中未直接提及。以下内容基于标准的反函数变换采样法。)

详细解释

反函数变换法 (Inverse Transform Sampling)

这是从均匀分布 $U(0,1)$ 生成服从任意分布 $F(x)$ 的随机数的最根本方法。

理论基础:

• 设有一个随机变量 $X$，其累积分布函数 (CDF) 为 $F_X(x)$。
• 设 $F_X^{-1}(u)$ 是其 CDF 的反函数。
• 如果随机变量 $U$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，即 U acksim U(0,1)。
• 那么，对这个均匀分布的随机变量 $U$ 进行变换，得到新的随机变量 $Y=F_X^{-1}(U)$，则 $Y$ 的分布就是原始目标分布 $F_X(x)$。

证明: 我们要证明 $Y$ 的 CDF 是 $F_X(y)$。 $F_Y(y)=P(Y\le y)=P(F_X^{-1}(U)\le y)$ 因为 $F_X(x)$ 是单调非减函数，所以其反函数 $F_X^{-1}(u)$ 也是单调非减的。因此，我们可以对不等式两边同时应用 $F_X$ 函数而不改变不等号方向： $F_Y(y)=P(U\le F_X(y))$ 由于 $U$ 服从 $U(0,1)$ 分布，对于任何 $v\in (0,1)$，我们有 $P(U\le v)=v$。 令 $v=F_X(y)$，则 $v$ 的取值范围也恰好在 $(0,1)$ 内。 因此，$F_Y(y)=F_X(y)$。 这就证明了新生成的随机变量 $Y$ 与原始目标随机变量 $X$ 具有完全相同的分布函数，即它们服从相同的分布。

方法步骤:

1. 求目标分布的CDF: 写出你想要生成的随机变量 $X$ 所服从的分布的累积分布函数 $F_X(x)$。
2. 求CDF的反函数: 设 $u=F_X(x)$，然后从中解出 $x$，得到反函数 $x=F_X^{-1}(u)$。
3. 生成并变换: a. 用计算机生成一个服从 $U(0,1)$ 分布的随机数 $u$。 b. 将这个 $u$ 代入反函数，计算出 $x=F_X^{-1}(u)$。 c. 这个得到的 $x$ 就是一个服从目标分布 $F_X(x)$ 的随机数样本。

学习要点

• 理解计算机随机数生成的本质：从 $U(0,1)$ 到任意分布的变换。
• 掌握反函数变换法的原理和步骤，特别是“求CDF”和“求反函数”这两个核心环节。
• 认识到此方法的局限性：它要求目标分布的CDF必须存在解析形式的反函数。对于像正态分布这样CDF没有解析反函数的分布，需要使用其他更高级的方法（如Box-Muller变换）。

实践应用

例题: 如何生成一个服从参数为 $\lambda$ 的042-理论方法-指数分布的随机数？

解题思路 (反函数变换法):

1. 求指数分布的CDF: 指数分布的CDF为 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ (当 $x>0$ 时)。
2. 求CDF的反函数:
   • 令 $u=1-e^{-\lambda x}$。
   • $e^{-\lambda x}=1-u$
   • $-\lambda x=\ln (1-u)$
   • $x=-\frac{1}{\lambda }\ln (1-u)$
   • 所以反函数为 $F^{-1}(u)=-\frac{1}{\lambda }\ln (1-u)$。
3. 生成并变换:
   • 用计算机生成一个随机数 $u\sim U(0,1)$。
   • 计算 $x=-\frac{1}{\lambda }\ln (1-u)$。
   • 这个 $x$ 就是一个服从 $\text{Exp}(\lambda )$ 分布的随机数。

优化: 由于 $u$ 是 $U(0,1)$ 上的随机数，那么 $1-u$ 也同样服从 $U(0,1)$ 分布。因此，为了计算简便，可以直接使用 $x=-\frac{1}{\lambda }\ln (u)$ 来生成指数分布随机数。

关联知识点

• 前置知识:
  • 039-理论方法-均匀分布
  • 028-核心概念-分布函数及其性质
  • 055-技术实现-连续型随机变量函数的分布
• 相关概念:
  • 蒙特卡洛方法 (Monte Carlo method)
  • Box-Muller变换 (用于生成正态分布随机数)
  • 拒绝采样 (Rejection Sampling)