知识点概述

均匀分布（Uniform Distribution）是最简单的连续型概率分布。它描述了一个随机变量在给定长度的区间 $[a, b]$ 内取任何一个点都是等可能的。如果一个随机变量 $X$ 服从区间 $[a, b]$ 上的均匀分布，记为 $X \sim U [a, b]$ 。

教材原文

(教材在2.4节标题“重要的连续型分布”下隐含了均匀分布，其定义是概率论的标准内容。例如，例2.1.2中耗油量的例子就是一个在(0, 100)上的均匀分布。)

模型与定义:
- 如果一个连续型随机变量 $X$ 在区间 $[a, b]$ 外取值的概率为0，而在区间 $[a, b]$ 内任何等长度的子区间上取值的概率都相等，则称 $X$ 服从 $[a, b]$ 上的均匀分布。
- 这种“等可能性”意味着其概率密度函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上是一个常数。
概率密度函数 (PDF):
- 为了满足归一性（即密度函数下总面积为1），这个常数的值必须是 $\frac{1}{b - a}$ 。
- 因此，其PDF为： $f (x) = {\frac{1}{b - a}, 0, a \leq x \leq b 其他$
- 其图形是一个在 $[a, b]$ 上高度为 $\frac{1}{b - a}$ 的矩形。
分布函数 (CDF):
- 通过对PDF进行积分 $F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$ 得到： $F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x - a}{b - a}, 1, x < a a \leq x \leq b x > b$
- 其图形是一条从 $(a, 0)$ 线性上升到 $(b, 1)$ 的斜线。
计算概率:
- 随机变量 $X$ 落入 $[a, b]$ 的一个子区间 $[c, d]$ 的概率为： $P (c \leq X \leq d) = \int_{c}^{d} \frac{1}{b - a} d x = \frac{d - c}{b - a}$
- 这个概率只与子区间的长度 $(d - c)$ 有关，而与子区间的位置无关，这正是“均匀”的体现。

随机数生成: 计算机中的随机数生成器（例如 rand() 函数）通常生成的是服从 $U [0, 1]$ 均匀分布的伪随机数。这是所有其他随机模拟的基础。
几何概型: 在011-理论方法-几何概型中，如果样本空间是一个一维线段，那么向该线段内随机投点，该点的坐标就服从均匀分布。
模拟与仿真: 在不知道一个变量具体服从何种分布时，将其假设为在某个合理范围内的均匀分布，是一种常见的简化处理方法。
舍入误差: 数字计算中的舍入误差可以被建模为在某个小区间（如 $[- 0.5, 0.5]$ ）上的均匀分布。

例题: 假设某路公交车每15分钟一班，且你在任意时刻到达公交站。求你等待公交车的时间不超过5分钟的概率。

解题思路:

识别模型: 你到达的时刻是随机的，因此你的等待时间 $T$ 可以被建模为在区间 $[0, 15]$ 上服从均匀分布的随机变量。即 $T \sim U [0, 15]$ 。
确定参数: $a = 0, b = 15$ 。
计算概率: 我们要求的是等待时间不超过5分钟，即 $P (T \leq 5)$ 。
- 方法一：使用PDF $P (0 \leq T \leq 5) = \int_{0}^{5} \frac{1}{15 - 0} d x = \frac{1}{15} [x]_{0}^{5} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ 。
- 方法二：使用长度比 有利区间长度为 $5 - 0 = 5$ 。总区间长度为 $15 - 0 = 15$ 。概率 = $\frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ 。
- 方法三：使用CDF $P (T \leq 5) = F (5) = \frac{5 - 0}{15 - 0} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ 。