057-技术实现-最大值与最小值的分布

知识点概述

在概率论中，我们常常关心一组随机变量中的最大值或最小值的分布情况。例如，一个由多个组件构成的并联系统的寿命，取决于寿命最长的那个组件；而一个串联系统的寿命，则取决于寿命最短的那个组件。求解最大值和最小值的分布通常使用分布函数法，并且在变量相互独立时有简洁的公式。

教材原文

(该问题是随机变量函数分布中的一个重要特例，在教材提供的片段中未直接提及。以下内容基于标准解法。)

详细解释

设 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ 是一组随机变量。 定义两个新的随机变量：

• 最大值: $M=\max (X_1,X_2,\dots ,X_n)$
• 最小值: $N=\min (X_1,X_2,\dots ,X_n)$

我们的目标是求 $M$ 和 $N$ 的分布函数和密度函数。

核心方法：分布函数法

1. 最大值 M 的分布

• 分布函数 $F_M(m)$:

  • 根据定义，$F_M(m)=P(M\le m)$。
  • 事件“最大值小于等于m” $(M\le m)$ 与事件“所有变量都小于等于m” $(X_1\le m,X_2\le m,\dots ,X_n\le m)$ 是等价的。
  • 因此，$F_M(m)=P(X_1\le m,X_2\le m,\dots ,X_n\le m)$。
  • 如果 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立，那么联合概率可以写成边缘概率的乘积： $F_M(m)=P(X_1\le m)P(X_2\le m)\cdots P(X_n\le m)=F_{X_1}(m)F_{X_2}(m)\cdots F_{X_n}(m)$
  • 如果它们还是独立同分布 (i.i.d.) 的，即有共同的分布函数 $F_X(x)$，则公式变为： $F_M(m)=[F_X(m){]}^n$

• 密度函数 $f_M(m)$:

  • 通过对分布函数求导得到： $f_M(m)=F_M^{\prime }(m)=n[F_X(m){]}^{n-1}{f}_X(m)$

2. 最小值 N 的分布

• 分布函数 $F_N(n)$:

  • 直接求 $P(N\le n)$ 比较困难，我们通常先求其对立事件的概率，即 $P(N>n)$。
  • 事件“最小值大于n” $(N>n)$ 与事件“所有变量都大于n” $(X_1>n,X_2>n,\dots ,X_n>n)$ 是等价的。
  • 因此，$P(N>n)=P(X_1>n,X_2>n,\dots ,X_n>n)$。
  • 如果 $X_1,\dots ,X_n$ 相互独立，则： $P(N>n)=P(X_1>n)P(X_2>n)\cdots P(X_n>n)=[1-F_{X_1}(n)][1-F_{X_2}(n)]\cdots [1-F_{X_n}(n)]$
  • 那么，$F_N(n)=1-P(N>n)=1-{\prod }_{i=1}^n[1-F_{X_i}(n)]$
  • 如果它们还是独立同分布 (i.i.d.) 的，则公式变为： $F_N(n)=1-[1-F_X(n){]}^n$

• 密度函数 $f_N(n)$:

  • 通过对分布函数求导得到： $f_N(n)=F_N^{\prime }(n)=n[1-F_X(n){]}^{n-1}{f}_X(n)$

学习要点

• 求解最大/最小值分布的核心技巧是利用分布函数(CDF)进行分析。
• 牢记两个关键的等价事件：
  • Max $\le m⟺$ All $\le m$
  • Min $>n⟺$ All $>n$
• 独立性假设是得出简洁乘积形式公式的前提。

实践应用

例题: 设有3个独立的电子元件，其寿命（单位：千小时）都服从参数为 $\lambda =0.1$ 的指数分布。将它们并联组成一个系统，求系统寿命 $M$ 的概率密度函数。

解题思路:

1. 确定模型: 并联系统的寿命取决于寿命最长的那个元件，所以系统寿命 $M=\max (X_1,X_2,X_3)$。三个元件寿命 $X_1,X_2,X_3$ 是独立同分布的，服从 Exp(0.1)。
2. 写出单个元件的分布:
   • PDF: $f_X(x)=0.1e^{-0.1x}$ (x>0)
   • CDF: $F_X(x)=1-e^{-0.1x}$ (x>0)
3. 求最大值的分布函数 $F_M(m)$:
   • 根据公式，$F_M(m)=[F_X(m){]}^3$。
   • $F_M(m)=(1-e^{-0.1m}{)}^3$ (当 m>0 时)。
4. 求最大值的密度函数 $f_M(m)$:
   • $f_M(m)=F_M^{\prime }(m)=\frac{d}{dm}(1-e^{-0.1m}{)}^3$
   • $f_M(m)=3(1-e^{-0.1m}{)}^2\cdot (-e^{-0.1m})\cdot (-0.1)$
   • $f_M(m)=0.3e^{-0.1m}(1-e^{-0.1m}{)}^2$ (当 m>0 时)。

思考: 如果这3个元件是串联的，系统寿命 $N=\min (X_1,X_2,X_3)$ 的分布是什么？

• $F_N(n)=1-[1-F_X(n){]}^3=1-[1-(1-e^{-0.1n}){]}^3=1-(e^{-0.1n}{)}^3=1-e^{-0.3n}$。
• 这说明，最小值 $N$ 服从参数为 $3\lambda =0.3$ 的指数分布！这是一个重要结论：n个独立同参数 $\lambda$ 指数分布的最小值，服从参数为 $n\lambda$ 的指数分布。

关联知识点

• 前置知识:
  • 055-技术实现-连续型随机变量函数的分布
  • 052-核心概念-随机变量的独立性
• 相关概念:
  • 顺序统计量 (Order Statistics)
  • 可靠性理论 (并联系统与串联系统)