032-理论方法-二项分布

知识点概述

二项分布是n重伯努利试验中“成功”次数的离散概率分布。如果一个随机变量 $X$ 表示在 $n$ 次独立的、成功概率为 $p$ 的试验中成功的次数，那么 $X$ 就服从二项分布，记为 $X\sim B(n,p)$。

教材原文

例1.2.6（抽样检验）…放回情形 样本点是可重复的排列，样本点总数 $n(\Omega )=(r+b{)}^n$ 。为数清 $E=\{\text{取出的 }n\text{ 个中恰含 }k\text{ 个红球}\}$ 中所含样本点数，我们分解为3个串行的过程：先确定这 $n$ 个球中哪 $k$ 个位置上是红球，共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 种方式；再从 $r$ 个红球中有重复地选取 $k$ 个，有 $r^k$ 种取法；最后，从 $b$ 个黑球中有重复地取 $(n-k)$ 个，有 $b^{n-k}$ 种取法。用乘法原理知 $n(E)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)r^k{b}^{n-k}$ 。故有 P (E) = \binom {n} {k} \left(\frac {r}{r + b}\right) ^ {k} \left(\frac {b}{r + b}\right) ^ {n - k}, \quad k = 0, \dots , n. \tag {1.2:7} 这个例子可用于产品的抽样检验。以红球代表正品，黑球代表次品，则 $P(E)$ 就是任取 $n$ 个样品中恰含 $k$ 个正品的概率。两种取样方式所得到的概率 (1.2.6) 与 (1.2.7) 式，分别称作超几何分布与二项分布，将在第二章进一步研究。

详细解释

1. 模型与定义:

   • 二项分布是直接从031-理论方法-Bernoulli试验与概型导出的。
   • 考虑一个 $n$ 重Bernoulli试验，其中每次试验成功的概率为 $p$。
   • 定义随机变量 $X$ 为这 $n$ 次试验中总共成功的次数。
   • $X$ 的概率质量函数 (PMF) 为： $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n$
   • 这个公式的含义是：
     • $p^k(1-p{)}^{n-k}$: 这是任何一个包含 $k$ 次成功和 $n-k$ 次失败的特定序列发生的概率（由于独立性）。
     • $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$: 这是在 $n$ 次试验中，选出 $k$ 次成功的位置的组合数。它代表了所有可能出现 $k$ 次成功的不同方式的数量。

2. 参数:

   • 二项分布由两个参数决定：
     • $n$: 试验的总次数，是一个正整数。
     • $p$: 单次试验成功的概率，是一个在 $[0,1]$ 之间的实数。

3. 名称来源:

   • $P(X=k)$ 的表达式恰好是二项式定理 $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$ 中的通项。如果令 $a=p$ 和 $b=1-p$，则有： ${\sum }_{k=0}^{n}P(X=k)={\sum }_{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}=(p+(1-p){)}^n=1^n=1$
   • 这也验证了二项分布的概率之和为1，满足概率分布的归一性要求。

学习要点

• 识别一个问题是否符合二项分布的模型：寻找固定次数的、独立的、只有两种结果的、每次成功概率相同的重复试验。
• 熟练掌握二-项分布的概率计算公式 $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$。
• 理解公式中每一部分的含义，特别是组合数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 的作用。
• 知道二项分布的参数是 $n$ 和 $p$。

实践应用

• 射击问题: 某射手对同一目标独立射击10次，每次命中率为0.8。那么他恰好命中7次的概率是多少？
  • 这是一个典型的二项分布问题， $n=10,p=0.8,k=7$。
  • $P(X=7)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{7}\right)(0.8{)}^7(0.2{)}^3\approx 0.201$
• 质量控制: 一批产品的不良率为5%。随机抽取20件产品进行检验，恰好发现2件次品的概率是多少？
  • $n=20,p=0.05,k=2$。
  • $P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{2}\right)(0.05{)}^2(0.95{)}^{18}\approx 0.189$
• 民意调查: 随机询问1000位选民，假设其中40%支持某位候选人。那么调查中发现支持者在380人到420人之间的概率是多少？
  • $n=1000,p=0.4$。
  • 需要计算 $P(380\le X\le 420)={\sum }_{k=380}^{420}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{k}\right)(0.4{)}^k(0.6{)}^{1000-k}$。当n很大时，这种计算通常会用036-理论方法-Poisson定理(二项分布的Poisson近似)或中心极限定理进行近似。

关联知识点

• 前置知识:
  • 031-理论方法-Bernoulli试验与概型
  • 008-技术实现-计数原理 (组合)
• 后续知识:
  • 036-理论方法-Poisson定理(二项分布的Poisson近似)
  • 092-理论方法-DeMoivre-Laplace定理 (二项分布的正态近似)
  • 061-技术实现-常见分布的数学期望 (二项分布的期望为 $np$)
  • 063-理论方法-方差的性质 (二项分布的方差为 $np(1-p)$)