036-理论方法-Poisson定理(二项分布的Poisson近似)

知识点概述

泊松定理（Poisson Theorem）指出，当二项分布 $B(n,p)$ 的试验次数 $n$ 非常大，而单次成功概率 $p$ 非常小时，其概率可以由一个参数为 $\lambda =np$ 的泊松分布来近似。这个定理为计算稀有事件在大量试验中发生次数的概率提供了一个极大的便利。

教材原文

(教材在目录中提及，但具体定义和证明在所提供的文本片段中未详细展开。以下内容基于标准概率论定义。)

详细解释

1. 背景与动机:

   • 直接计算二项分布 $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ 在 $n$ 很大时会非常困难，因为阶乘和高次方的计算量巨大。
   • 在很多实际问题中，我们关心的是“稀有事件”（$p$ 很小）在大量重复试验（$n$ 很大）中发生的情况。例如，一本书中某个印刷错误的数量，或者一个放射源在一段时间内发出的粒子数。
   • 泊松定理为此类问题提供了一个简单而精确的近似计算方法。

2. 定理内容:

   • 设随机变量 $X_n\sim B(n,p_n)$，即服从参数为 $n$ 和 $p_n$ 的二项分布。
   • 如果当 $n\to \infty$ 时，有 $p_n\to 0$，并且乘积 $n{p}_n$ 趋向于一个有限的正数 $\lambda$，即 ${\lim }_{n\to \infty }n{p}_n=\lambda >0$。
   • 那么，对于任意固定的非负整数 $k$，二项分布的概率会收敛到泊松分布的概率： ${\lim }_{n\to \infty }P(X_n=k)={\lim }_{n\to \infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p_n^k(1-p_n{)}^{n-k}=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$

3. 近似条件:

   • 在实际应用中，当满足以下经验法则时，可以认为近似效果良好：
     • $n$ 足够大，通常 $n\ge 20$ 或 $n\ge 100$。
     • $p$ 足够小，通常 $p\le 0.05$ 或 $p\le 0.1$。
     • 乘积 $np=\lambda$ 的大小适中，通常在10以下。

4. 证明思路 (非严格):

   • 在 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ 中，当 $n\to \infty ,p\to 0,np\to \lambda$ 时：
   • $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}\approx \frac{n^k}{k!}$ (因为 $n$ 远大于 $k$)
   • $p^k\approx (\lambda /n{)}^k={\lambda }^k/n^k$
   • $(1-p{)}^{n-k}=(1-\frac{\lambda }{n}{)}^{n-k}\approx (1-\frac{\lambda }{n}{)}^n$ (因为 $n$ 远大于 $k$)
   • 利用重要极限 ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$，可知 $(1-\frac{\lambda }{n}{)}^n\to e^{-\lambda }$。
   • 将以上三部分相乘：$\frac{n^k}{k!}\cdot \frac{{\lambda }^k}{n^k}\cdot e^{-\lambda }=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$。

学习要点

• 理解泊松定理是二项分布的极限形式。
• 牢记应用泊松近似的条件：$n$ 大，$p$ 小，$np=\lambda$ 适中。
• 掌握近似计算的方法：首先从二项分布的参数 $n$ 和 $p$ 计算出泊松分布的参数 $\lambda =np$，然后使用泊松分布的公式 $P(Y=k)=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$ 来近似计算 $P(X=k)$。

实践应用

例题: 某保险公司有10000名客户，根据统计，每个客户在一年内发生事故的概率为0.0002。求该公司在一年内恰好有3名客户发生事故的概率。

解题思路:

1. 识别为二项分布:
   • 这是一个典型的二项分布问题，每次试验是“一个客户是否出险”。
   • $n=10000$ (试验次数)
   • $p=0.0002$ (单次成功概率)
   • 我们要求 $P(X=3)$。
2. 检查近似条件:
   • $n=10000$ 很大。
   • $p=0.0002$ 很小。
   • $\lambda =np=10000\times 0.0002=2$，大小适中。
   • 因此，可以使用泊松近似。
3. 应用泊松近似:
   • 我们用参数 $\lambda =2$ 的泊松分布来近似。
   • $P(X=3)\approx P(Y=3)=\frac{e^{-2}{2}^3}{3!}=\frac{8e^{-2}}{6}=\frac{4}{3}{e}^{-2}$
   • $e\approx 2.718$, $e^2\approx 7.389$。
   • $P(X=3)\approx \frac{4}{3\times 7.389}\approx 0.180$
   • 直接用二项分布计算会非常复杂，而泊松近似提供了一个非常方便且足够精确的答案。

关联知识点

• 前置知识:
  • 032-理论方法-二项分布
• 核心关联:
  • 037-理论方法-Poisson分布 (泊松分布是该定理的结果)
• 后续知识:
  • 092-理论方法-DeMoivre-Laplace定理 (二项分布在不同条件下的另一种近似——正态近似)