092-理论方法-DeMoivre-Laplace定理

知识点概述

棣莫弗-拉普拉斯定理（DeMoivre-Laplace Theorem）是中心极限定理在二项分布上的一个重要特例，也是历史上最早发现的中心极限定理的形式。它指出，当二项分布 $B(n,p)$ 的试验次数 $n$ 很大时，其分布可以用正态分布来很好地近似。

教材原文

(该知识点是中心极限定理的直接应用和历史前身，是标准概率论内容。)

详细解释

1. 定理内容

设随机变量 $S_n$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，即 $S_n\sim B(n,p)$。 我们知道二项分布的期望为 $E(S_n)=np$，方差为 $D(S_n)=np(1-p)$。

棣莫弗-拉普拉斯定理指出，当 $n\to \infty$ 时，对 $S_n$ 进行标准化后的随机变量 $Z_n$： $Z_n=\frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}}=\frac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ 依分布收敛于标准正态分布 $N(0,1)$。

$Z_n\stackrel{d}{\to }N(0,1)$

2. 与中心极限定理的关系

该定理可以看作是林德伯格-勒维中心极限定理的直接推论。

• 一个服从二项分布的随机变量 $S_n$ 可以看作是 $n$ 个独立同分布的伯努利随机变量 $X_1,\dots ,X_n$ 的和，即 $S_n={\sum }_{i=1}^n{X}_i$。
• 每个伯努利变量 $X_i$ 的期望为 $E(X_i)=p$，方差为 $D(X_i)=p(1-p)$。
• 根据中心极限定理，这个和经过标准化后，其分布必然收敛于标准正态分布。标准化的过程与上述公式完全一致。

3. 近似应用

该定理的实际价值在于为计算二项分布的概率提供了一个强大的近似工具。当 $n$ 很大时，直接计算二项分布的概率 $P(S_n=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ 会非常困难。

根据该定理，当 $n$ 足够大时（通常要求 $np\ge 5$ 且 $n(1-p)\ge 5$），我们可以认为： $S_n\approx N(np,np(1-p))$

从而，计算 $S_n$ 落在某个区间的概率，可以转化为计算正态分布的概率。

• 连续性校正 (Continuity Correction)
  • 由于我们是用一个连续分布（正态分布）来近似一个离散分布（二项分布），为了提高近似的精度，需要进行连续性校正。
  • 其思想是将离散的点 $k$ 扩展为一个区间 $[k-0.5,k+0.5]$。
  • 规则:
    • $P(S_n=k)\approx P(k-0.5<X<k+0.5)$，其中 $X\sim N(np,np(1-p))$
    • $P(S_n\le k)\approx P(X<k+0.5)$
    • $P(S_n\ge k)\approx P(X>k-0.5)$
    • $P(a\le S_n\le b)\approx P(a-0.5<X<b+0.5)$

学习要点

• 核心思想: 正态分布是二项分布在 $n$ 很大时的极限分布。
• 近似条件: 通常要求 $n$ 足够大，且 $p$ 不能太靠近0或1，经验法则是 $np\ge 5$ 和 $n(1-p)\ge 5$。
• 与泊松近似的区别:
  • 正态近似: 用于 $n$ 大，但 $p$ 不特别小也不特别大的情况。
  • 泊松近似: 用于 $n$ 大，且 $p$ 特别小的情况 ($np=\lambda$ 适中)。
• 连续性校正: 在使用正态分布近似计算二项分布概率时，为了提高精度，必须进行连续性校正。

实践应用

例题: 某大型工厂生产的灯泡，其次品率为10%。随机抽取500个灯泡，求其中次品数在40到60个之间的概率。

解题思路:

1. 识别模型: 次品数 $S_{500}$ 服从二项分布 $B(500,0.1)$。
2. 检查近似条件:
   • $n=500$ 很大。
   • $np=500\times 0.1=50\ge 5$。
   • $n(1-p)=500\times 0.9=450\ge 5$。
   • 条件满足，可以使用正态近似。
3. 确定正态分布参数:
   • 均值: $\mu =np=50$。
   • 方差: ${\sigma }^2=np(1-p)=50\times 0.9=45$。
   • 标准差: $\sigma =\sqrt{45}\approx 6.708$。
   • 所以，$S_{500}\approx N(50,45)$。
4. 计算概率 (含连续性校正):
   • 我们要求 $P(40\le S_{500}\le 60)$。
   • 应用连续性校正: $P(40-0.5<X<60+0.5)=P(39.5<X<60.5)$，其中 $X\sim N(50,45)$。
5. 标准化:
   • 下限: $z_1=\frac{39.5-50}{6.708}\approx -1.57$
   • 上限: $z_2=\frac{60.5-50}{6.708}\approx 1.57$
6. 查表计算: $P(-1.57<Z<1.57)=\Phi (1.57)-\Phi (-1.57)=2\Phi (1.57)-1$ 查标准正态分布表得 $\Phi (1.57)\approx 0.9418$。 概率 $\approx 2\times 0.9418-1=0.8836$。

关联知识点

• 前置知识:
  • 091-核心概念-中心极限定理的定义
  • 032-理论方法-二项分布
• 对比:
  • 036-理论方法-Poisson定理(二项分布的Poisson近似)