091-核心概念-中心极限定理的定义

知识点概述

中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）是概率论中最著名、最重要的结果之一。它断言，在适当的条件下，大量独立随机变量的均值（或和）的分布，会近似于一个正态分布。这个定理的惊人之处在于，它对原始随机变量的分布类型没有太高要求，无论它们原本是什么分布（离散的、连续的、对称的、偏斜的），它们的和的分布最终都会“趋向”于正态分布。这解释了为什么正态分布在自然界和统计学中如此无处不在。

教材原文

(教材在4.3节标题“中心极限定理”下引入此概念。)

详细解释

中心极限定理也和大数定律一样，是一组定理的总称。它们在不同的条件下，得出了相似的结论。最常见和最基础的是林德伯格-勒维中心极限定理。

1. 林德伯格-勒维 (Lindeberg-Lévy) 中心极限定理

• 定理内容: 设 $X_1,X_2,udots,X_n$ 是一系列独立同分布 (i.i.d.) 的随机变量，它们具有有限的数学期望 $E(X_i)=u$ 和有限且大于0的方差 $D(X_i)=u^2$。

  令 $S_n=u_{i=1}^n{X}_i$ 为样本和，ar{X}_n = S_n/n 为样本均值。

  那么，当 $nou$ 时，对样本和 $S_n$ (或样本均值 ar{X}_n) 进行标准化后的随机变量 $Z_n$：

u}{\sqrt{n u^2}} = rac{ar{X}_n - u}{ u/\sqrt{n}} **依分布收敛**于标准正态分布 $N(0,1)$。 Z_n ↗{d} N(0,1)$$

• 用分布函数表达:

u} P\left( rac{ar{X}_n - u}{ u/\sqrt{n}} v 其中 $u(z)$ 是标准正态分布的累积分布函数。

2. 与大数定律的比较

• 大数定律 描述的是样本均值 ar{X}_n 这个数值本身的极限行为，它告诉我们 ar{X}_n 会收敛到常数 $u$。
• 中心极限定理 描述的是样本均值 ar{X}_n 的概率分布的极限行为。它告诉我们，ar{X}_n 的分布形状（经过标准化后）会越来越像一个正态分布，而不是收敛到一个点。

可以这样理解：大数定律说的是 ar{X}_n 的位置在哪里，而中心极限定理说的是 ar{X}_n 在其中心位置 $u$ 周围的波动形态是怎样的。

3. 近似应用

中心极限定理的实践意义在于，当 $n$ 足够大时（通常 $n u

• 样本和 $S_n$ 近似服从正态分布: $S_n u
• 样本均值 ar{X}_n 近似服从正态分布: $ar{X}_n u

这使得我们可以用正态分布作为工具，来近似计算关于样本和或样本均值的概率。

学习要点

• 核心思想: 独立变量之和的分布趋于正态。
• 收敛类型: 中心极限定理描述的是依分布收敛。
• 标准化: 必须对变量进行标准化（减去均值，除以标准差），其极限才是标准正态分布 $N(0,1)$。
• 条件: 经典CLT的条件是独立同分布，且期望和方差存在。

实践应用

• 统计推断: 中心极限定理是构建置信区间和进行假设检验的理论基础。例如，即使我们不知道总体的具体分布，只要样本量足够大，我们就可以利用样本均值的分布近似为正态分布来进行各种统计推断。
• 误差分析: 在测量中，总误差通常可以看作是许多微小的、独立的随机误差之和。根据中心极限定理，总误差的分布就近似于正态分布。这解释了为什么测量误差常被假设为正态分布。
• 金融: 资产组合的收益率可以看作是多个独立（或近似独立）因素影响的总和，因此其分布也常常用正态分布来近似建模。

关联知识点

• 前置知识:
  • 083-核心概念-依分布收敛(弱收敛)
  • 040-理论方法-正态分布(Gauss分布)
• 后续知识:
  • 092-理论方法-DeMoivre-Laplace定理 (中心极限定理在二项分布上的特例)
  • 093-理论方法-Lévy-Lindeberg定理 (即本节介绍的经典中心极限定理)
  • 095-理论方法-Lyapunov定理 (将i.i.d.条件放宽到独立但不同分布的中心极限定理)