040-理论方法-正态分布(Gauss分布)

知识点概述

正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gauss Distribution），是概率论中最重要的连续型概率分布。自然界、工业生产和人类社会中许多随机现象都服从或近似服从正态分布，例如测量误差、人口身高、产品尺寸等。它在统计学中也占有核心地位，是中心极限定理的基础。

教材原文

(教材在2.4节标题“重要的连续型分布”下隐含了正态分布，其定义是概率论的标准内容。)

详细解释

1. 模型与定义:

   • 如果一个连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数 (PDF) 为： $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<+\infty$
   • 则称 $X$ 服从参数为 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 的正态分布，记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。

2. 参数:

   • 正态分布由两个参数完全确定：
     • 均值 (Mean) $\mu$: 决定了密度函数图形的中心位置。它也是分布的数学期望（平均值）。
     • 方差 (Variance) ${\sigma }^2$ (其中 $\sigma >0$ 是标准差): 决定了密度函数图形的胖瘦程度或离散程度。$\sigma$ 越小，图形越高瘦，表示数据越集中在均值附近；$\sigma$ 越大，图形越矮胖，表示数据越分散。

3. 图形特征:

   • 密度函数曲线呈“钟形”，关于直线 $x=\mu$ 对称。
   • 在 $x=\mu$ 处达到最大值。
   • 曲线以x轴为渐近线，向两侧无限延伸但永不与x轴相交。

4. 标准正态分布 (Standard Normal Distribution):

   • 当 $\mu =0$ 且 ${\sigma }^2=1$ (即 $\sigma =1$) 时，正态分布被称为标准正态分布，记为 $Z\sim N(0,1)$。
   • 其PDF通常用 $\varphi (z)$ 表示： $\varphi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}$
   • 其CDF通常用 $\Phi (z)$ 表示： $\Phi (z)={\int }_{-\infty }^z\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$
   • $\Phi (z)$ 没有初等的解析表达式，其值需要通过查标准正态分布数值表或使用计算软件获得。

5. 标准化:

   • 任何一个服从 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的正态随机变量，都可以通过一个线性变换标准化为一个标准正态随机变量 $Z$： $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$
   • 这个变换过程非常关键，因为它使得我们可以通过查阅一张标准正态分布表，来计算任何正态分布的概率问题。
   • 例如，计算 $P(a<X<b)$: $P(a<X<b)=P(\frac{a-\mu }{\sigma }<\frac{X-\mu }{\sigma }<\frac{b-\mu }{\sigma })=P(\frac{a-\mu }{\sigma }<Z<\frac{b-\mu }{\sigma })=\Phi (\frac{b-\mu }{\sigma })-\Phi (\frac{a-\mu }{\sigma })$

6. “3$sigma$”法则:

   • 对于任何正态分布 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，其取值几乎全部集中在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 区间内。
   • $P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )\approx 0.6827$
   • $P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )\approx 0.9545$
   • $P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )\approx 0.9973$

学习要点

• 理解正态分布的钟形曲线特征，以及参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 对图形形状的影响。
• 掌握标准正态分布 $N(0,1)$ 的定义。
• 核心技能：能够将一个一般正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 通过标准化变换 $Z=(X-\mu )/\sigma$ 转化为标准正态分布 $N(0,1)$。
• 学会使用标准正态分布数值表（或计算器）来求解有关正态分布的概率问题。
• 了解“3$sigma$”法则的含义和数值。

实践应用

例题: 某地区成年男性的身高服从均值为175cm，标准差为6cm的正态分布。随机抽取一名成年男性，求其身高在169cm到181cm之间的概率。

解题思路:

1. 确定分布: 身高 $X\sim N(175,6^2)$。所以 $\mu =175,\sigma =6$。
2. 写出所求概率: 我们要求 $P(169<X<181)$。
3. 标准化:
   • 下限: $z_1=\frac{169-175}{6}=-1$
   • 上限: $z_2=\frac{181-175}{6}=+1$
4. 转化为标准正态分布概率: $P(169<X<181)=P(-1<Z<1)$
5. 查表计算: $P(-1<Z<1)=\Phi (1)-\Phi (-1)$。 利用对称性 $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$，所以 $\Phi (-1)=1-\Phi (1)$。 $P(-1<Z<1)=\Phi (1)-(1-\Phi (1))=2\Phi (1)-1$。 查标准正态分布表得 $\Phi (1)\approx 0.8413$。 所以，概率为 $2\times 0.8413-1=0.6826$。 （这恰好是“1$sigma$”法则的结果）

关联知识点

• 前置知识:
  • 030-核心概念-连续型随机变量与密度函数
• 后续知识:
  • 091-核心概念-中心极限定理的定义 (正态分布是中心极限定理的结论)
  • 050-理论方法-二维正态分布
  • 076-理论方法-多元正态分布的定义
  • 几乎所有统计推断理论（参数估计、假设检验）都与正态分布密切相关。