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035-应用案例-分赌注问题

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知识点概述

分赌注问题（Problem of Points），又称点数问题，是概率论历史上一个著名的问题。它探讨的是：一场有明确获胜局数要求的赌局，在因故中断时，应如何根据当时的比分来公平地分配赌注。这个问题的解决推动了概率论的早期发展，特别是期望值的概念。

教材原文

(该问题是概率论发展的经典历史问题，在教材提供的片段中未直接提及。以下内容基于该问题的标准描述和解法。)

详细解释

  1. 问题描述:

    • 两名实力相当的玩家（A和B）进行一系列独立重复的比赛，每局比赛A获胜的概率为 ，B获胜的概率为 。
    • 第一个赢得 局比赛的玩家获得全部赌注。
    • 然而，比赛在A已经赢了 局、B已经赢了 局（ 且 ）时被迫中断。
    • 核心问题: 应该如何公平地分配总赌注？

  2. “公平”的原则:

    • “公平”的分配方案不是基于已经过去的比赛结果，而是基于未来。赌注的分配比例应该等于两位玩家如果继续比赛下去，最终获胜的概率之比。
    • 换句话说，我们需要计算出，在当前比分 的情况下，A最终获胜（即在B之前先赢满N局）的概率 和B最终获胜的概率 。

  3. 求解方法:

    • 要让A最终获胜，意味着A还需要赢 局，而B还需要赢 局。
    • 我们可以想象比赛继续进行，直到有一方获胜为止。为了决定胜负，最多还需要进行 局比赛。
    • A在这接下来的 局中最终获胜，意味着A在这些局中赢得的局数不少于 局。
    • 这可以被看作是一个031-理论方法-Bernoulli试验与概型。我们进行 次独立的试验（比赛），A在每次试验中获胜的概率为 。 A最终获胜的概率，就是在这 次试验中，A获胜的次数 满足 的概率。
    • 因此，A获胜的概率为：
    • 赌注就应该按照 (其中 ) 的比例来分配。

学习要点

  • 理解分赌注问题的核心思想：按未来获胜的可能性来分配，而不是按过去的得分比例。
  • 掌握将分赌注问题转化为一个二项分布的概率计算问题。
  • 关键在于确定为了决出胜负，未来最多还需要进行的比赛场次，并以此作为二项分布的试验总次数 。

实践应用

例题: 甲乙两人赌技相同（即每局胜率均为1/2），约定先赢10局者获得全部100元赌注。当甲赢了7局，乙赢了5局时，比赛中断。应如何分配赌注？

解题思路:

  1. 确定参数:
    • 目标局数 。
    • 当前比分 。
    • 每局胜率 。
  2. 确定未来需求:
    • 甲还需要赢 局。
    • 乙还需要赢 局。
  3. 确定最大剩余场次:
    • 为了决出胜负，最多还需要进行 局比赛。（例如，如果乙连赢4局，比分变为7:9，甲再连赢3局，比分变为10:9，甲胜，总共7局）。
  4. 转化为二项分布问题:
    • 我们现在的问题是：在接下来的7局比赛中，甲获胜的概率是多少？甲只要在这7局中赢得至少3局，就能最终获胜。
    • 设 为接下来7局中甲获胜的次数，则 。
    • 我们需要计算 。 由于 ，计算较为简单：。 。
    • 乙获胜的概率为 。
  5. 分配赌注:
    • 甲应分得 元。
    • 乙应分得 元。

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