008-技术实现-计数原理

知识点概述

计数原理是解决古典概型概率计算问题的基础，它提供了确定样本点个数的系统方法。核心是加法原理和乘法原理，以及在此基础上发展的排列和组合。

教材原文

乘法原理：假定进行过程 I 有 $n_1$ 种方式，而对于过程 I 的每一方式，进行过程 II 都有 $n_2$ 种方式。那么，依次进行过程 I 与 II 共有 $n_1{n}_2$ 种方式。 加法原理：假定进行过程I有 $n_1$ 种方式，进行过程Ⅱ有 $n_2$ 种方式．那么，进行过程I或Ⅱ共有 $n_1+n_2$ 种方式.

详细解释

• 加法原理 (分类计数):

  • 核心思想: 完成一件事情有若干类方法，各类方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都能完成任务。总方法数等于各类方法数之和。
  • 关键词: “分类”、“或者”。

• 乘法原理 (分步计数):

  • 核心思想: 完成一件事情需要分成若干个步骤，每个步骤都不可或缺。总方法数等于每个步骤的方法数之积。
  • 关键词: “分步”、“并且”、“依次”。

• 排列 (Permutation):

  • 定义: 从n个不同元素中，取出r个元素，并按照一定的顺序排成一列。
  • 公式: $A_n^r=n(n-1)...(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$。
  • 特点: 与元素的顺序有关。

• 组合 (Combination):

  • 定义: 从n个不同元素中，只取出r个元素，不考虑它们的顺序。
  • 公式: $C_n^r=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)=\frac{A_n^r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$。
  • 特点: 与元素的顺序无关。

学习要点

• 区分原理: 准确判断一个计数问题应该“分类”还是“分步”是解决问题的关键。
• 区分排列与组合: 明确问题是否与“顺序”有关。涉及顺序的是排列问题，不涉及顺序的是组合问题。
• 组合应用: 解决古典概型问题时，正确地分解计数过程，综合运用加法和乘法原理是核心技能。

实践应用

• 车牌号码: 组成一个车牌号码需要分步选择字母和数字，应用乘法原理。
• 选举班委: 从10名候选人中选出3名不同的班委（如班长、学委、体委），涉及顺序，是排列问题。如果只是选出3名委员，不区分职位，则是组合问题。
• 古典概率计算: 在计算 $P(A)=n(A)/n(\Omega )$ 时， $n(A)$ 和 $n(\Omega )$ 的计算通常都需要用到计数原理。

关联知识点

• 前置知识:
  • 007-理论方法-古典概型