知识点概述

方差作为描述随机变量离散程度的数字特征，其自身也有一系列重要的运算性质。这些性质使得在处理随机变量的线性组合或独立和时，方差的计算得以简化。

教材原文

(该知识点是标准概率论内容，在教材中通常紧随方差的定义之后。)

设 $X, Y$ 为随机变量， $C$ 为常数。

1. 基本性质

性质1: 常数的方差为0 $D (C) = 0$
- 解释: 常数没有任何波动性，其取值与其期望（即其自身）的偏差恒为0。
性质2: 方差与常数加法的关系 $D (X + C) = D (X)$
- 解释: 将一个随机变量的所有取值整体平移一个常数，其离散程度（波动范围）并不会改变。方差衡量的是离散程度，因此不受平移影响。
性质3: 方差与常数乘子的关系 $D (CX) = C^{2} D (X)$
- 解释: 将一个随机变量的所有取值都乘以一个常数 $C$ ，其与均值的偏差也会被乘以 $C$ 。由于方差是偏差的平方的期望，所以方差会乘以 $C^{2}$ 。
线性组合的性质: 结合性质2和3，可以得到方差对于线性变换的性质： $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ 其中 $a, b$ 均为常数。注意常数 $b$ 在求方差时消失了。

2. 随机变量和差的方差

性质4: 两个随机变量和/差的方差 $D(X ± Y) = D(X) + D(Y) ± 2\text{Cov}(X, Y)$ 其中 $Cov (X, Y) = E [(X - E (X)) (Y - E (Y))]$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差。
性质5: 独立随机变量和/差的方差 如果 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，那么它们的协方差 $Cov (X, Y) = 0$ 。此时，性质4简化为： $D(X ± Y) = D(X) + D(Y)$
- 重要: 这个简洁的“可加性”公式成立的前提是独立性。这是方差最重要的性质之一。
- 注意，无论是和还是差， $D (X)$ 和 $D (Y)$ 前面的符号都是正号。直观上，两个独立的随机波动的叠加，其总波动性（方差）应该是增大的，而不是抵消。
- 该性质可以推广到任意多个相互独立的随机变量之和： $D (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} D (X_{i})$ (当 $X_{i}$ 相互独立时)

与期望性质对比:
- $E (a X + b) = a E (X) + b$ (常数 $b$ 保留)
- $D (a X + b) = a^{2} D (X)$ (常数 $b$ 消失, $a$ 平方)
方差的可加性是有条件的: $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ 成立的前提是 $X, Y$ 相互独立。这与期望的可加性 $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ 无条件成立形成鲜明对比。
和与差的方差: 注意 $D (X - Y) = D (X) + D (Y)$ (当X,Y独立时)，中间是加号不是减号。

例题: 设 $X, Y$ 是两个相互独立的随机变量，且 $E (X) = 1, D (X) = 2, E (Y) = 3, D (Y) = 4$ 。求随机变量 $Z = 2 X - 3 Y + 5$ 的期望和方差。

解题思路:

求期望 $E (Z)$ :
- 利用期望的线性性质（无条件）： $E (Z) = E (2 X - 3 Y + 5) = E (2 X) - E (3 Y) + E (5)$ $E (Z) = 2 E (X) - 3 E (Y) + 5$
- 代入数值： $E (Z) = 2 (1) - 3 (3) + 5 = 2 - 9 + 5 = - 2$ 。
求方差 $D (Z)$ :
- 利用方差的性质： $D (Z) = D (2 X - 3 Y + 5) = D (2 X - 3 Y)$ (加上的常数5不影响方差)
- 因为 $X, Y$ 相互独立，所以 $2 X$ 和 $- 3 Y$ 也相互独立。应用独立变量和/差的方差公式： $D (2 X - 3 Y) = D (2 X) + D (- 3 Y)$
- 再利用 $D (a X) = a^{2} D (X)$ 的性质： $D (Z) = 2^{2} D (X) + (- 3)^{2} D (Y) = 4 D (X) + 9 D (Y)$
- 代入数值： $D (Z) = 4 (2) + 9 (4) = 8 + 36 = 44$ 。