知识点概述

数学期望作为一种运算，具有一系列类似于积分或求和的线性性质，以及在变量独立条件下的乘法性质。这些性质极大地简化了复杂随机变量期望的计算。

教材原文

(该知识点是标准概率论内容，在教材中通常紧随期望的定义之后。)

设 $X, Y$ 为随机变量， $C$ 为常数。

1. 期望的线性性质

性质1: 常数的期望是其自身 $E (C) = C$
- 解释: 一个常数可以看作一个取值恒为 $C$ 的随机变量，其“平均值”自然就是 $C$ 。
性质2: 期望与常数乘子的可交换性 $E (CX) = C \cdot E (X)$
- 解释: 将随机变量的所有取值都放大 $C$ 倍，其均值（期望）也相应地放大 $C$ 倍。
性质3: 期望的可加性 $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$
- 解释: 这是期望最重要的性质之一。两个随机变量之和的期望，等于它们各自期望的和。这个性质不要求 $X$ 和 $Y$ 相互独立，具有普遍适用性。
线性组合的推广: 结合性质2和3，可以得到期望对于线性组合的性质： $E (a X + bY + c) = a E (X) + b E (Y) + c$ 其中 $a, b, c$ 均为常数。这个性质可以推广到任意多个随机变量的线性组合。

2. 期望的乘法性质

性质4: 独立随机变量乘积的期望 如果 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，那么： $E (X Y) = E (X) E (Y)$
- 解释: 两个独立随机变量乘积的期望等于它们各自期望的乘积。
- 重要警示: 这个性质的前提是独立性。如果两个变量不独立，这个等式一般不成立。反之，如果 $E (X Y) = E (X) E (Y)$ ，我们只能说 $X$ 和 $Y$ 不相关，但不能断定它们一定独立（除非它们服从二维正态分布）。
- 该性质可以推广到任意多个相互独立的随机变量的乘积。

3. 期望的保序性（单调性）

性质5: 如果对于任何可能的结果 $ω$ ，总有 $X (ω) \leq Y (ω)$ ，那么： $E (X) \leq E (Y)$
- 解释: 如果一个随机变量总是小于等于另一个随机变量，那么它的平均值（期望）也必然小于等于另一个的平均值。

例题: 设随机变量 $X$ 的期望 $E (X) = 10$ ，方差 $D (X) = 4$ 。求 $E [X (X - 2)]$ 。

解题思路:

直接求 $E [X (X - 2)]$ 很困难，因为我们不知道 $X$ 的具体分布。
利用期望的线性性质来展开表达式： $E [X (X - 2)] = E [X^{2} - 2 X] = E (X^{2}) - E (2 X) = E (X^{2}) - 2 E (X)$ 。
问题转化为求 $E (X^{2})$ 。我们已知 $E (X)$ 和 $D (X)$ 。
利用方差的计算公式: $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。
代入数值: $4 = E (X^{2}) - 1 0^{2} = E (X^{2}) - 100$ 。
解出 $E (X^{2})$ : $E (X^{2}) = 104$ 。
回代计算结果: $E [X (X - 2)] = E (X^{2}) - 2 E (X) = 104 - 2 (10) = 84$ 。

这个例子充分展示了如何利用期望的性质将一个看似无法解决的问题，转化为一个可以通过已知信息求解的问题。

前置知识:
- 059-核心概念-数学期望的定义
- 052-核心概念-随机变量的独立性
后续知识:
- 063-理论方法-方差的性质 (方差性质的推导大量依赖于期望的性质)
- 064-核心概念-协方差与协方差阵 (协方差的定义和计算)
- 067-理论方法-全期望公式