知识点概述

方差（Variance）和标准差（Standard Deviation）是描述随机变量取值离散程度或波动范围的最重要的数字特征。数学期望描述了随机变量的“中心”，而方差和标准差则描述了变量在多大程度上偏离这个中心。

教材原文

(教材在3.2节标题“其他数字特征”下隐含了此概念，其定义是标准概率论内容。)

定义: 设 $X$ 是一个随机变量，其数学期望为 $E (X) = μ$ 。如果期望 $E [(X - μ)^{2}]$ 存在，则称其为随机变量 $X$ 的方差，记为 $D (X)$ 或 $Var (X)$ 。 $D (X) = E [(X - E (X))^{2}]$
直观理解:
1. $X - E (X)$ 是随机变量 $X$ 的取值与其均值的偏差。
2. $(X - E (X))^{2}$ 是这个偏差的平方，这使得无论偏差是正还是负，结果都是非负的。
3. $E [(X - E (X))^{2}]$ 是对这个偏差平方的平均值（期望）。
- 因此，方差的本质是“随机变量取值与均值之间偏差的平方的平均值”。方差越大，说明随机变量的取值越分散，波动性越大。
计算公式: 直接使用定义计算通常不方便。我们通常使用一个更实用的计算公式： $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$
- 推导: $D (X) = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2} - 2 μ X + μ^{2}]$ 根据期望的线性性质， $D (X) = E (X^{2}) - E (2 μ X) + E (μ^{2}) = E (X^{2}) - 2 μ E (X) + μ^{2}$ 因为 $E (X) = μ$ ，所以 $D (X) = E (X^{2}) - 2 μ^{2} + μ^{2} = E (X^{2}) - μ^{2} = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。
- 这个公式表明，方差等于“平方的期望”减去“期望的平方”。

定义: 方差 $D (X)$ 的算术平方根被称为随机变量 $X$ 的标准差（或均方差），记为 $σ (X)$ 或 $SD (X)$ 。 $σ (X) = D (X)$
直观理解:
- 由于方差是“偏差的平方”的平均值，其单位是原始变量单位的平方（例如，如果身高用cm度量，方差的单位是 $c m^{2}$ ），这不便于直观解释。
- 标准差通过开方，将单位还原为与原始变量相同的单位（cm），因此它可以直接度量随机变量的典型偏离程度。可以说，标准差是随机变量偏离其均值的“平均距离”的一种度量。

理解方差是度量离散程度的指标。
熟记方差的定义式 $D (X) = E [(X - E (X))^{2}]$ 和计算式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。
掌握使用计算式求方差的步骤：
1. 计算 $E (X)$ 。
2. 计算 $E (X^{2})$ (使用“懒人公式”)。
3. 代入公式 $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$ 。
理解标准差是方差的平方根，其单位与原始变量相同，更具解释性。
方差和标准差都是非负的， $D (X) \geq 0$ 。
$D (X) = 0$ 的充要条件是 $X$ 是一个常数（即 $P (X = c) = 1$ ）。

例题: 设离散型随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2
P	0.1	0.6	0.3

求 $D (X)$ 和 $σ (X)$ 。

解题思路:

计算 $E (X)$ : $E (X) = 0 \times 0.1 + 1 \times 0.6 + 2 \times 0.3 = 0 + 0.6 + 0.6 = 1.2$
计算 $E (X^{2})$ : $E (X^{2}) = 0^{2} \times 0.1 + 1^{2} \times 0.6 + 2^{2} \times 0.3 = 0 + 0.6 + 4 \times 0.3 = 0.6 + 1.2 = 1.8$
计算 $D (X)$ : $D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 1.8 - (1.2)^{2} = 1.8 - 1.44 = 0.36$
计算 $σ (X)$ : $σ (X) = D (X) = 0.36 = 0.6$

前置知识:
- 059-核心概念-数学期望的定义
后续知识:
- 063-理论方法-方差的性质
- 064-核心概念-协方差与协方差阵
- 087-理论方法-Chebyshev大数律 (切比雪夫不等式直接使用了方差来界定概率)