025-核心概念-试验的独立性

知识点概述

试验的独立性是指多个随机试验的结果互不影响。为了严格地描述这一概念，需要构建一个统一的乘积概率空间，其中每个试验的结果对应于该空间中的一个事件，而这些事件的概率关系遵循独立性的定义。

教材原文

所谓试验相互独立，就是其中一试验所得到的结果，对其他各试验取得其可能结果的概率都没有影响。本节将给出较严格的数学描述。

…（构造乘积概率空间）…

定义1.6.4 设有 $n$ 个随机试验，第 $i$ 个试验的概率空间为 $({\Omega }_2{,}_1{\mathcal{F}}_2{,}_1{P}_2)$ ， $i=1,2,\dots ,n$ ，代表这 $n$ 个试验的乘积样本空间 $\Omega ={\Omega }_1\times \cdots \times {\Omega }_2$ ,\mathcal{F} = \mathcal{F}₁\times \dots \times \mathcal{F}₂ = \sigma (\mathcal{C})$，其中$\mathcal{C}$为形如$B₁•\times \dots \times B₂(B₂₂\in \mathcal{F}₂)$的可测矩形全体．如果$(\Omega ,\mathcal{F})$上的概率测度$P$是$P₁,•\dots ,P₂$的乘积测度，即对任何$B₁•\times \dots \times B₂•\in \mathcal{C}满足 $$P \left(B _ {1} \times \dots \times B _ {n}\right) = P _ {1} \left(B _ {1}\right) \dots \dots P _ {n} \left(B _ {n}\right), \tag {1.6.13}$$ 则称这n$ 个试验相互独立.

如果再设 ${\Omega }_2\equiv {\Omega }_0$ , ${\mathcal{F}}_2\equiv {\mathcal{F}}_0$ , $P_2\equiv P_0$ , $i=1,2,\dots ,n$ , 即 $n$ 个试验有相同的概率空间, 则称它们为 $n$ 个独立重复试验.

详细解释

1. 动机: 当我们考虑多个独立的随机过程时（例如，连续抛掷一枚硬币多次），我们需要一个统一的数学框架来描述整个复合试验。简单地将各个试验的概率空间并列是不够的，因为无法处理跨试验的事件（例如，“第一次正面，第二次反面”）。

2. 乘积概率空间: 解决方案是构建一个乘积概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$。

   • 样本空间 (Product Space): 新的样本空间 $\Omega$ 是各个试验样本空间 ${\Omega }_1,{\Omega }_2,\dots ,{\Omega }_2$ 的笛卡尔积，即 $\Omega ={\Omega }_1\times {\Omega }_2\times \cdots \times {\Omega }_2$。它的每个样本点是一个n元组 $({\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_2)$，其中 ${\omega }_2$ 是第 $i$ 个试验的一个结果。
   • 事件域 (Product $\sigma$-algebra): 新的事件域 $\mathcal{F}$ 是由所有形如 $A_1\times A_2\times \cdots \times A_2$（其中 $A_2\in {\mathcal{F}}_2$）的“可测矩形”生成的 $\sigma$-代数。这确保了所有我们关心的、涉及多个试验的组合事件都是可测的。
   • 概率测度 (Product Measure): 这是定义试验独立性的关键。如果这 $n$ 个试验是独立的，那么在乘积空间上的概率测度 $P$ 必须是乘积测度。这意味着，对于任何可测矩形事件，其概率等于其在各个分量空间中概率的乘积： $P(A_1\times A_2\times \cdots \times A_2)=P_1(A_1)P_2(A_2)\cdots P_2(A_2)$

3. 独立性的本质: 两个或多个试验是否独立，取决于描述它们的联合概率空间上的概率测度是否为乘积测度。如果联合概率测度是乘积测度，则试验是独立的；否则，它们是相关的。

4. 独立重复试验: 这是一个非常重要的特例，指的是所有单个试验都在完全相同的条件下进行，即它们的概率空间 $({\Omega }_2,{\mathcal{F}}_2,P_2)$ 完全相同。例如，反复抛掷同一枚硬币或骰子。这构成了许多经典概率模型（如Bernoulli概型）的基础。

学习要点

• 理解为什么需要构造乘积空间来描述多个试验。
• 掌握乘积样本空间、乘积事件域和乘积测度的基本概念。
• 核心思想：试验的独立性等价于联合概率测度是各个边缘概率测度的乘积。
• 区分“试验独立”和“事件独立”：试验独立是更宏观的概念，它蕴含了来自不同试验的事件之间的独立性。例如，如果试验1和试验2独立，那么从试验1中取任意事件A，从试验2中取任意事件B，A和B一定是独立的。

实践应用

• 有放回抽样: 每次从袋中抽一个球然后放回，再抽下一个。每次抽球都是一次独立的重复试验。描述n次抽样的概率空间就是单个抽样试验的概率空间的n重乘积空间。
• 系统可靠性分析: 假设一个系统由多个独立工作的组件构成，整个系统的可靠性分析就建立在各个组件试验（工作或失效）相互独立的基础上。
• 通信系统: 在数字通信中，由于信道噪声，每个发送的比特在接收端被错误解码的事件通常被建模为相互独立的。

关联知识点

• 前置知识:
  • 024-核心概念-事件的独立性
  • 014-核心概念-概率的公理化定义
• 后续知识:
  • 031-理论方法-Bernoulli试验与概型
  • 052-核心概念-随机变量的独立性