024-核心概念-事件的独立性

知识点概述

事件的独立性是概率论中的一个基本概念，描述的是一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。这是简化概率计算的一个核心假设。

教材原文

定义1.6.1 设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 是一个概率空间，如果 $A,B\in \mathcal{F}$ 满足 P (A B) = P (A) P (B), \tag {1.6.1} 则称事件 $A$ 与 $B$ 相互独立.

当 $P(B)>0$ 时，易证 $A$ 与 $B$ 独立的充分必要条件是 $P(A\mid B)=P(A).$

定义1.6.2 设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 为一概率空间， $A_1,\dots ,A_n\in \mathcal{F}$ ，如果对任意的 $s$ ， $1\le s\le n$ ，及任意的 $1\le i_1<i_2<\cdots <i_s\le n$ 都有 P \left(A _ {i _ {1}} A _ {i _ {2}} \dots A _ {i _ {s}}\right) = P \left(A _ {i _ {1}}\right) P \left(A _ {i _ {2}}\right) \dots P \left(A _ {i _ {s}}\right), \tag {1.6.2} 则称事件 $A_1,\dots ,A_n$ 相互独立.

详细解释

1. 两个事件的独立性:

   • 直观理解: 事件A和B相互独立，意味着知道B是否发生，并不会改变我们对A发生可能性的判断。即 $P(A|B)=P(A)$。
   • 数学定义: 两个事件A和B相互独立的充要条件是它们的交事件的概率等于它们各自概率的乘积，即 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$。这个定义更具一般性，因为它不要求 $P(B)>0$，且形式上对称。
   • 与互斥的区别: 独立和互斥是两个完全不同的概念。如果两个事件A和B都有正概率，那么它们：
     • 如果是互斥的 ($A\cap B=\varnothing$)，则 $P(A\cap B)=0$。但 $P(A)P(B)>0$，所以它们必然不独立（相关）。
     • 如果是独立的 ($P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$)，则它们的交集不是空集，所以它们必然不互斥（相容）。

2. 多个事件的独立性:

   • 两两独立 vs. 相互独立: 对于三个或更多事件，情况更为复杂。
     • 两两独立: 指的是事件集合中的任意两个事件都是相互独立的。例如，对于A, B, C，两两独立意味着 $P(AB)=P(A)P(B)$, $P(AC)=P(A)P(C)$, $P(BC)=P(B)P(C)$。
     • 相互独立 (或整体独立): 是一个更强的条件。它不仅要求任意两个事件独立，还要求任意三个、任意四个、…、直到所有事件的交的概率都等于它们各自概率的乘积。对于A, B, C，相互独立要求两两独立的所有条件并且 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。
   • 重要关系: 相互独立一定能推出两两独立，但反之不成立。

学习要点

• 牢记事件独立的数学定义：$P(AB)=P(A)P(B)$。
• 清晰地区分“独立”与“互斥”这两个概念。
• 理解“相互独立”比“两两独立”是更强的条件，并能举例说明两两独立不能推出相互独立。
• 若事件A与B独立，则它们的逆事件也相互独立，即 $A$ 与 $\overline{B}$ ，$\overline{A}$ 与 $B$ ，$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也都相互独立。

实践应用

例题: 掷两枚均匀的骰子，设 $A=\{\text{点数和为奇数}\}$，$B=\{\text{第1枚为奇数点}\}$，$C=\{\text{第2枚为偶数点}\}$。求证事件A, B, C两两独立但不是相互独立的。

解题思路:

1. 计算基本概率:
   • $P(A)$: 点数和为奇数，必须是“奇+偶”或“偶+奇”。$P(A)=1/2\times 1/2+1/2\times 1/2=1/2$。
   • $P(B)$: 第1枚为奇数。$P(B)=3/6=1/2$。
   • $P(C)$: 第2枚为偶数。$P(C)=3/6=1/2$。
2. 检验两两独立:
   • $A\cap B$: 点数和为奇数且第1枚为奇数 $⟹$ 第2枚为偶数。所以 $A\cap B=C$。但从事件定义看，$A\cap B$ 是指“第1枚奇，第2枚偶”，概率为 $1/2\times 1/2=1/4$。$P(A\cap B)=1/4$。而 $P(A)P(B)=1/2\times 1/2=1/4$。所以A, B独立。
   • $A\cap C$: 点数和为奇数且第2枚为偶数 $⟹$ 第1枚为奇数。所以 $A\cap C=B$。$P(A\cap C)=1/4$。$P(A)P(C)=1/2\times 1/2=1/4$。所以A, C独立。
   • $B\cap C$: 第1枚为奇数且第2枚为偶数。$P(B\cap C)=1/2\times 1/2=1/4$。$P(B)P(C)=1/2\times 1/2=1/4$。所以B, C独立。
   • 结论：A, B, C 两两独立。
3. 检验相互独立:
   • $A\cap B\cap C$: 点数和为奇数、第1枚为奇数、第2枚为偶数。这三个条件是等价的，交集就是 $B\cap C$。$P(A\cap B\cap C)=P(B\cap C)=1/4$。
   • $P(A)P(B)P(C)=1/2\times 1/2\times 1/2=1/8$。
   • 因为 $P(A\cap B\cap C)\ne P(A)P(B)P(C)$，所以A, B, C不是相互独立的。

关联知识点

• 前置知识:
  • 019-核心概念-条件概率
  • 020-理论方法-乘法定理
• 后续知识:
  • 025-核心概念-试验的独立性
  • 052-核心概念-随机变量的独立性