026-技术实现-可靠性分析

知识点概述

可靠性分析是应用概率论来评估一个系统或其组件能够正常执行其预定功能的概率。它通常基于将复杂系统分解为更简单的串联和并联子系统，并假设各组件的工作状态是相互独立的。

教材原文

例1.6.5 (可靠性) 系统(或组成系统的部件) 正常工作的概率称作该系统(部件)的可靠性。我们总是假定系统中各部件能否正常工作是相互独立的。如果第 $i$ $(i=1,2,ext...,n)$ 个部件的可靠性为 $p_i$ $(0<p_i<1)$ ，那么由定理1.6.1可知，将这 $n$ 个部件串联所组成的系统的可靠性为 $R_c=p_1{p}_{2}ext...p_n$ ；而将它们并联所组成系统的可靠性 $R_b=1-(1-p_1)(1-p_2)ext...(1-p_n)$ 。对于其他较复杂的系统，一般可以通过将它分解为若干串联或并联子系统，而逐步求得其可靠性。

详细解释

1. 核心假设: 可靠性分析的首要假设是组件独立性，即一个组件的失效或正常工作不影响任何其他组件的状态。这极大地简化了计算。

2. 基本系统结构:

   • 串联系统 (Series System):

     • 结构: 所有组件必须全部正常工作，整个系统才能正常工作。就像一串圣诞彩灯，一个灯泡坏了，整串都不亮。
     • 可靠性计算: 设系统由 $n$ 个独立组件构成，第 $i$ 个组件的可靠性为 $p_i$。系统正常工作的事件是所有组件都正常工作的交事件。由于独立性，系统可靠性 $R_{串}$ 是所有组件可靠性的乘积： $R_{串}=P(A_{1}ext\cap A_{2}ext\cap ext...ext\cap A_n)=P(A_1)P(A_2)ext...P(A_n)=ext{\prod }_{i=1}^n{p}_i$
     • 特点: 串联系统的可靠性低于任何单个组件的可靠性。增加组件会降低系统可靠性。

   • 并联系统 (Parallel System):

     • 结构: 只要至少有一个组件正常工作，整个系统就能正常工作。这提供了冗余和备份。
     • 可靠性计算: 直接计算“至少一个工作”比较复杂，更容易计算其对立事件——“所有组件都失效”。系统失效的概率是所有组件都失效的交事件。第 $i$ 个组件失效的概率是 $1-p_i$。因此，系统失效的概率为 $ext{\prod }_{i=1}^n(1-p_i)$。系统可靠性 $R_{并}$ 就是1减去系统失效的概率： $R_{并}=1-P(ext所有组件都失效)=1-ext{\prod }_{i=1}^n(1-p_i)$
     • 特点: 并联系统的可靠性高于任何单个组件的可靠性。增加组件会提高系统可靠性。

3. 复杂系统分析:

   • 对于混联系统，分析的关键是分而治之。
   • 将系统分解为若干个纯粹的串联或并联子系统。
   • 先计算出这些子系统的等效可靠性。
   • 然后将这些子系统视为新的单一组件，重复此过程，直到整个系统被简化为一个单一的等效可靠性值。
   • 对于无法直接分解的复杂结构（如桥式电路），可以采用全概率公式，通过对某个关键组件的状态（工作或失效）进行分类讨论来计算系统可靠性。

学习要点

• 牢记串联和并联系统的可靠性计算公式。
• 理解公式背后的逻辑：串联是“所有都成功”的交事件，并联是“至少一个成功”的事件（通过其对立事件“所有都失败”来计算）。
• 掌握分析混联系统的“分解-组合”思想。
• 了解对于更复杂的系统，可以借助全概率公式进行“条件化”分析。

实践应用

问题: 如图所示的桥式系统，5个独立组件的可靠性均为 $p$。求整个系统的可靠性 $R$。

解题思路 (使用全概率公式):

1. 选择关键组件: 选择中间的组件5进行条件化分析。
2. 分类讨论:
   • 情况1: 组件5正常工作 (概率为 $p$) 此时，系统变为(1,4串联)与(2,3串联)的并联。
     • 上面支路(1,4)可靠性: $pimesp=p^2$。
     • 下面支路(2,3)可靠性: $pimesp=p^2$。
     • 条件可靠性 $R(ext系统|5ext工作)=1-(1-p^2)(1-p^2)=2p^2-p^4$。
   • 情况2: 组件5失效 (概率为 $1-p$) 此时，系统变为(1,2串联)与(3,4串联)的并联。不对，应该是(1,4串联)与(2,3串联)的并联。不对。应该是(1,3串联)与(2,4串联)的并联。不对。应该是(1,2串联)与(3,4串联)的并联。当5断开时，通路为1→2或3→4。所以是(1,2串联)和(3,4串联)的并联。可靠性为 $1-(1-p^2)(1-p^2)=2p^2-p^4$。
     • 根据教材例题的解法：在开关5断开条件下，(4)相当于n=2时的电路(1)，从而 $P(E|ext\neg A_5)=p^2(2-p^2)$。电路(1)是 (1..n串联)与(1’..n’串联)的并联。n=2时，是(1,2串联)与(1’,2’串联)的并联。可靠性是 $1-(1-p^2{)}^2=2p^2-p^4$。所以 $R(ext系统|5ext失效)=2p^2-p^4$。
3. 应用全概率公式: $R=P(5ext工作)R(ext系统|5ext工作)+P(5ext失效)R(ext系统|5ext失效)$ $R=p(2p^2-p^4)+(1-p)(2p^2-p^4)=(p+1-p)(2p^2-p^4)=2p^2-p^4$ (这个结果不对)。 让我们重新看教材的计算：$R_4=pext\cdot p^2(2-p{)}^2+(1-p)ext\cdot p^2(2-p^2)=2p^2+3p^3-5p^4+2p^5$。这说明在组件5工作和失效时，电路的拓扑结构是不同的。当5工作时，等效于(1,3并联)与(2,4并联)的串联，再与5并联。不对。当5工作时，(1,4)并联后与5串联，再与(2,3)并联。也不对。当5工作时，(1,3)串联，(2,4)串联，然后并联，再与5串联。也不对。当5工作时，(1,2)并联，(3,4)并联，然后串联，再与5并联。也不对。 根据教材，当A5接通时，电路(4)等效于n=2的电路(2)。电路(2)是(i, i’并联)的串联。所以是(1,3并联)与(2,4并联)的串联。可靠性是 $(1-(1-p{)}^2)imes(1-(1-p{)}^2)=(2p-p^2{)}^2=p^2(2-p{)}^2$。当A5断开时，电路(4)等效于n=2的电路(1)。电路(1)是(i串联)与(i’串联)的并联。所以是(1,2串联)与(3,4串联)的并联。可靠性是 $1-(1-p^2{)}^2=2p^2-p^4$。 所以 $R_4=pimes(p^2(2-p{)}^2)+(1-p)imes(2p^2-p^4)=p(4p^2-4p^3+p^4)+2p^2-p^4-2p^3+p^5=4p^3-4p^4+p^5+2p^2-p^4-2p^3+p^5=2p^2+2p^3-5p^4+2p^5$。这与教材 $2p^2+3p^3-5p^4+2p^5$ 不符。检查 $P(E|A_5)=p^2(2-p{)}^2$ 是否正确。当5接通时，是(1,3并联)和(2,4并联)的串联。可靠性是 $(1-(1-p)(1-p))imes(1-(1-p)(1-p))=(2p-p^2{)}^2=p^2(2-p{)}^2$。这是对的。检查 $P(E|ext\neg A_5)=p^2(2-p^2)$ 是否正确。当5断开时，是(1,2串联)和(3,4串联)的并联。可靠性是 $1-(1-p^2)(1-p^2)=2p^2-p^4$。这也是对的。那么教材的最终答案 $2p^2+3p^3-5p^4+2p^5$ 可能是印刷错误。我的计算结果是 $2p^2+2p^3-5p^4+2p^5$。

关联知识点

• 前置知识:
  • 024-核心概念-事件的独立性
  • 017-理论方法-概率的基本性质 (特别是加法定理)
  • 021-理论方法-全概率公式
• 后续知识:
  • 故障树分析 (Fault Tree Analysis)