017-理论方法-概率的基本性质

知识点概述

从概率的公理化定义出发，可以推导出一系列在实际计算中非常有用的基本性质。这些性质是所有概率计算的法则，极大地简化了复杂事件概率的求解过程。

教材原文

定理1.4.5 设 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 为一概率空间，则其上概率 P 具有如下性质： $4^{\circ }P(\varnothing )=0;$ $5^{\circ }$ 有限可加性：若 $A_1,\dots ,A_n$ 为 $\mathcal{F}$ 中两两不相容事件，则 $P({\bigcup }_{k=1}^n{A}_k)={\sum }_{k=1}^{n}P(A_k)$; $6^{\circ }$ 可减性：若 $A,B\in \mathcal{F}$ 且 $A\subset B$，则 $P(B-A)=P(B)-P(A)$; $7^{\circ }$ 单调性：若 $A,B\in \mathcal{F}$ 且 $A\subset B$，则 $P(A)\le P(B)$； $8^{\circ }P(\overline{A})=1-P(A);$ $9^{\circ }$ 加法定理：任 $A_1,\dots ,A_n\in \mathcal{F}$ 有 $P({\bigcup }_{k=1}^n{A}_k)=\sum P(A_k)-\sum P(A_i{A}_j)+\dots$ $12^{\circ }$ 次可加性：任 $A_n\in \mathcal{F}$, $n=1,2,\dots$，有 $P({\bigcup }_{n=1}^{\infty }{A}_n)\le {\sum }_{n=1}^{\infty }P(A_n)$.

详细解释

1. 不可能事件的概率: $P(\varnothing )=0$。

   • 推导: 由规范性 $P(\Omega )=1$ 和可列可加性，令 $A_1=\Omega ,A_n=\varnothing (n>1)$ 即可得。

2. 有限可加性: 对于有限个互不相容的事件，其并集的概率等于它们概率的和。

   • 推导: 这是可列可加性的直接推论，只需在事件序列后补充无穷个空集即可。

3. 单调性: 如果事件A发生必然导致事件B发生，那么B的概率不会小于A的概率。

   • 推导: 因为 $B=A\cup (B-A)$，且A与B-A不相容，所以 $P(B)=P(A)+P(B-A)$。由非负性 $P(B-A)\ge 0$，故 $P(B)\ge P(A)$。

4. 对立事件的概率: 事件A不发生的概率等于1减去A发生的概率。这个性质极其有用，常用于“正难则反”的策略。

   • 推导: 因为 $\Omega =A\cup \overline{A}$ 且 $A,\overline{A}$ 不相容，所以 $P(\Omega )=P(A)+P(\overline{A})$。由规范性 $P(\Omega )=1$ 即得。

5. 加法定理: 计算两个或多个事件至少有一个发生的概率。

   • 两个事件: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$。
   • 三个事件: $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$。
   • 推广 (容斥原理): $P({\bigcup }_{k=1}^n{A}_k)$ 等于所有单个事件概率之和，减去所有两两事件交集概率之和，加上所有三三事件交集概率之和，以此类推，符号交替变化。

6. 次可加性 (Boole不等式): 任意一列事件（不一定互斥）的并集概率，不超过它们各自概率的和。这是对加法定理的推广和放缩。

学习要点

• 逻辑推导: 理解这些性质是如何从三条基本公理推导出来的，有助于加深对公理化体系的认识。
• 灵活运用: 在解题时，要能根据问题特点选择最合适的性质来简化计算。特别是加法定理和对立事件性质。

实践应用

• 计算“至少”型概率: 求“n个事件中至少有一个发生”的概率，通常计算其对立事件“n个事件全不发生”的概率 $P(\overline{A_1}\cap ...\cap \overline{A_n})$，然后用1减去它，会比直接用容斥原理简单得多。
• 概率估计: 当事件关系复杂时，可使用次可加性 $P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$ 来获得概率的一个上界估计。

关联知识点

• 前置知识:
  • 014-核心概念-概率的公理化定义