知识点概述

乘法定理（或称乘法公式）是计算多个事件同时发生（交事件）概率的基本法则。它由条件概率的定义直接导出，是将复杂事件的联合概率分解为一系列更简单的条件概率的乘积。

教材原文

将(1.5.1)式变形可得 $P (A B) = P (B) P (A ∣ B)$ 此式给出了求两个事件同时发生之概率的公式，并且可以推广到多个事件的情形。

定理1.5.2（乘法定理） 设 $(Ω, F, P)$ 为一概率空间， $A_{k} \in F$ ， $k = 1, 2, \dots, n$ 。如果 $P (A_{1} \dots A_{n - 1}) > 0$ ，则有 $P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \dots A_{n - 1})$

详细解释

两个事件的形式:
- $P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A)$
- 解读: A和B同时发生的概率 = A发生的概率 × 在A已发生的条件下B发生的概率。
多个事件的链式法则:
- $P (A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1})$
- 解读: 多个事件同时发生的概率，等于第一个事件发生的概率，乘以在第一个发生的条件下第二个发生的概率，再乘以在前两个都发生的条件下第三个发生的概率，以此类推，形成一个概率链条。
与独立性的关系:
- 如果事件A和B相互独立，则 $P (B ∣ A) = P (B)$ ，此时乘法公式简化为 $P (A B) = P (A) P (B)$ 。这是独立事件的定义之一。
- 因此，乘法定理是更一般性的结论，适用于事件独立和不独立的所有情况。

学习要点

掌握链式法则: 理解并能熟练运用乘法公式来分解和计算多个事件的交事件概率。
逻辑顺序: 应用乘法公式时，事件的分解顺序非常重要，通常需要按照问题描述的时间顺序或逻辑顺序来展开，这样每一步的条件概率才容易求解。
前提条件: 注意公式成立的前提是每一步的条件事件的概率都必须大于零。

实践应用

不放回抽样: 这是乘法定理最典型的应用场景。从装有红球和黑球的袋中不放回地依次抽取3个球，求“第一黑、第二红、第三黑”的概率。
- $P (1 黑 \cap 2 红 \cap 3 黑) = P (1 黑) \times P (2 红 ∣ 1 黑) \times P (3 黑 ∣ 1 黑 \cap 2 红)$
系统可靠性分析: 计算一个串联系统的可靠性。系统正常工作需要所有部件都正常工作。
- $P (系统正常) = P (部件 1 正常) \times P (部件 2 正常 ∣ 部件 1 正常) \times \dots$
自然语言处理: 在N-gram语言模型中，一个句子出现的概率被分解为一系列词的条件概率的乘积： $P (w_{1}, w_{2}, ..., w_{n}) = P (w_{1}) P (w_{2} ∣ w_{1}) P (w_{3} ∣ w_{1}, w_{2}) ...$

关联知识点

前置知识:
- 019-核心概念-条件概率
后续知识:
- 021-理论方法-全概率公式
- 024-核心概念-事件的独立性

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