033-理论方法-几何分布

知识点概述

几何分布是描述在n重伯努利试验中，首次取得成功所需的试验次数的离散概率分布。如果随机变量 $X$ 是为得到第一次成功所需要的试验次数，那么 $X$ 就服从几何分布。

教材原文

(教材在目录中提及，但具体定义和解释在所提供的文本片段中未详细展开。以下内容基于标准概率论定义。)

详细解释

1. 模型与定义:

   • 几何分布同样源于031-理论方法-Bernoulli试验与概型。
   • 考虑一个无限系列的独立重复Bernoulli试验，每次试验成功的概率为 $p$ ($0<p<1$)。
   • 定义随机变量 $X$ 为第一次成功出现时的试验次数。
   • 要使第 $k$ 次试验成为第一次成功，必须满足两个条件：
     1. 前 $k-1$ 次试验全部失败。
     2. 第 $k$ 次试验成功。
   • 由于试验是独立的，其概率为 $(1-p{)}^{k-1}p$。
   • 因此，$X$ 的概率质量函数 (PMF) 为： $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,3,\dots$
   • 服从这种分布的随机变量，记为 $X\sim G(p)$ 或 $X\sim Geo(p)$。

2. 参数:

   • 几何分布仅由一个参数决定：
     • $p$: 单次试验成功的概率。

3. 名称来源:

   • 分布的概率值 $p,p(1-p),p(1-p{)}^2,\dots$ 构成一个公比为 $(1-p)$ 的几何数列。所有概率之和为首项为 $p$、公比为 $1-p$ 的几何级数之和： ${\sum }_{k=1}^{\infty }P(X=k)={\sum }_{k=1}^{\infty }(1-p{)}^{k-1}p=\frac{p}{1-(1-p)}=\frac{p}{p}=1$
   • 这也验证了其概率归一性。

4. 无记忆性 (Memoryless Property):

   • 几何分布是离散随机变量中唯一具有无记忆性的分布。
   • 定义: $P(X>m+n|X>m)=P(X>n)$ for all $m,n\ge 1$。
   • 直观解释: 如果你已经失败了 $m$ 次，那么你未来还需要至少 $n$ 次才能成功的概率，和你从一开始就需要至少 $n$ 次才能成功的概率是一样的。换句话说，系统“忘记”了它已经失败了多少次，未来的概率不受过去失败历史的影响。
   • 证明: $P(X>m)={\sum }_{k=m+1}^{\infty }(1-p{)}^{k-1}p=p(1-p{)}^m{\sum }_{j=0}^{\infty }(1-p{)}^j=p(1-p{)}^m\frac{1}{1-(1-p)}=(1-p{)}^m$。 $P(X>m+n|X>m)=\frac{P(X>m+n\text{ and }X>m)}{P(X>m)}=\frac{P(X>m+n)}{P(X>m)}=\frac{(1-p{)}^{m+n}}{(1-p{)}^m}=(1-p{)}^n=P(X>n)$。

学习要点

• 识别几何分布的模型：独立重复试验，关心的是“首次”成功的时间。
• 掌握几何分布的PMF公式：$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$。
• 理解并能解释几何分布的无记忆性，这是其最重要的理论性质。
• 注意几何分布的取值从 $k=1$ 开始。

实践应用

• 产品检验: 每天检验一件产品，直到发现第一件次品为止。如果每天产品是次品的概率为 $p$，那么需要检验的天数 $X$ 就服从几何分布。
• 寻找目标: 你在射击场练习，命中率为0.2。你不停地射击直到第一次命中为止。你需要射击的次数就服从参数 $p=0.2$ 的几何分布。例如，恰好在第5次才命中的概率是 $P(X=5)=(0.8{)}^4(0.2)\approx 0.082$。
• 网络传输: 一个数据包在信道中成功传输的概率为 $p$。如果失败则重传。那么，直到成功为止的总传输次数服从几何分布。

关联知识点

• 前置知识:
  • 031-理论方法-Bernoulli试验与概型
• 后续知识:
  • 034-理论方法-Pascal分布(负二项分布) (几何分布是负二项分布的特例，即r=1的情况)
  • 043-核心概念-指数分布的无记忆性 (指数分布是连续型随机变量中唯一具有无记忆性的分布)
  • 061-技术实现-常见分布的数学期望 (几何分布的期望为 $1/p$)