知识点概述

矩（Moment）是用于描述随机变量概率分布形状的一系列数字特征。它将数学期望的概念进行了推广。最常用的矩是原点矩和中心矩，它们分别描述了分布的各个方面，如中心位置、离散程度、对称性等。

教材原文

(该知识点是数字特征理论的核心部分，在标准教材中均有介绍。)

定义: 随机变量 $X$ 的 k阶原点矩 定义为 $X^{k}$ 的数学期望，记为 $α_{k}$ 。 $α_{k} = E (X^{k}), k = 1, 2, 3, \dots$
计算:
- 离散型: $α_{k} = \sum_{i} x_{i}^{k} P (X = x_{i})$
- 连续型: $α_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} x^{k} f (x) d x$
特殊情况:
- 一阶原点矩 (k=1): $α_{1} = E (X^{1}) = E (X)$ 。它就是数学期望，描述了分布的中心位置。
- 二阶原点矩 (k=2): $α_{2} = E (X^{2})$ 。它被称为“均方值”，主要用于计算方差。

定义: 随机变量 $X$ 的 k阶中心矩 定义为 $(X - E (X))^{k}$ 的数学期望，记为 $μ_{k}$ 。 $μ_{k} = E [(X - E (X))^{k}], k = 1, 2, 3, \dots$
计算:
- 离散型: $μ_{k} = \sum_{i} (x_{i} - E (X))^{k} P (X = x_{i})$
- 连续型: $μ_{k} = \int_{- \infty}^{\infty} (x - E (X))^{k} f (x) d x$
特殊情况:
- 一阶中心矩 (k=1): $μ_{1} = E [X - E (X)] = E (X) - E (X) = 0$ 。一阶中心矩恒为0。
- 二阶中心矩 (k=2): $μ_{2} = E [(X - E (X))^{2}]$ 。它就是方差，描述了分布的离散程度或“胖瘦”。
- 三阶中心矩 (k=3): $μ_{3} = E [(X - E (X))^{3}]$ 。标准化后的三阶中心矩用于定义偏度 (Skewness)，描述分布的不对称性。如果分布左偏（左边尾巴长），偏度为负；如果右偏，偏度为正；如果对称，偏度为0。
- 四阶中心矩 (k=4): $μ_{4} = E [(X - E (X))^{4}]$ 。标准化后的四阶中心矩用于定义峰度 (Kurtosis)，描述分布的“尖峭”程度或尾部的“厚重”程度。与正态分布相比，峰度大于0的分布更尖峭，尾部更厚（厚尾）；峰度小于0的分布更平坦。

中心矩可以用原点矩来表示。例如：

$μ_{1} = 0$
$μ_{2} = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = α_{2} - α_{1}^{2}$ (即方差公式)
$μ_{3} = E (X^{3}) - 3 E (X^{2}) E (X) + 2 [E (X)]^{3} = α_{3} - 3 α_{2} α_{1} + 2 α_{1}^{3}$

区分原点矩和中心矩: 原点矩是关于“0”点的矩，中心矩是关于“均值 $E (X)$ ”点的矩。
掌握低阶矩的物理意义:
- 一阶原点矩 $⟺$ 期望 (中心位置)
- 二阶中心矩 $⟺$ 方差 (离散程度)
- 三阶中心矩 $⟺$ 偏度 (对称性)
- 四阶中心矩 $⟺$ 峰度 (尖峭程度)
熟记方差与一阶、二阶原点矩的关系公式 $D (X) = α_{2} - α_{1}^{2}$ 。
“矩”是描述分布形状的一套“坐标系”。在某些条件下，如果两个分布的所有阶矩都相同，那么这两个分布就是相同的。这被称为矩量问题 (Moment Problem)。

分布拟合与参数估计: 在统计学中，矩方法（Method of Moments）是一种通过将样本矩与理论矩相等来估计分布参数的常用方法。
金融风险管理: 金融资产收益率的分布通常不是完美的正态分布，它们可能存在“偏度”（大的正面或负面意外收益的概率不对称）和“峰度”（极端事件，即“黑天鹅”，发生的概率比正态分布预期的要高，即“厚尾”）。分析收益率分布的高阶矩对于风险管理至关重要。
信号处理与图像分析: 图像或信号的矩（图像矩）可以作为其形状的描述符，具有旋转、平移、缩放不变性，可用于模式识别和物体识别。