074-理论方法-反演公式与唯一性定理

知识点概述

反演公式（Inversion Formula）和唯一性定理（Uniqueness Theorem）是特征函数理论的基石。唯一性定理指出，一个概率分布完全由其特征函数唯一确定。反演公式则给出了一个从特征函数反向求解出原始分布函数或密度函数的具体数学工具。这套理论确保了特征函数可以作为概率分布的“唯一身份证”。

教材原文

(该知识点是标准的高等概率论内容，在教材中通常作为特征函数理论的核心。)

详细解释

1. 唯一性定理 (Uniqueness Theorem)

• 定理内容: 设 $X$ 和 $Y$ 是两个随机变量，其分布函数分别为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$，特征函数分别为 ${\varphi }_X(t)$ 和 ${\varphi }_Y(t)$。 如果 ${\varphi }_X(t)={\varphi }_Y(t)$ 对所有 $t\in \mathbb{R}$ 成立，那么 $F_X(x)=F_Y(x)$ 对所有 $x\in \mathbb{R}$ 成立。
• 核心思想: 特征函数与概率分布之间存在一一对应的关系。一个特定的特征函数只能对应一个特定的概率分布。
• 重要性: 这是所有基于母函数或特征函数来识别分布的方法（例如，证明独立正态分布之和仍为正态分布）的理论依据。我们之所以能够通过计算和的特征函数并观察其形式来断定其分布，正是因为这种对应关系的唯一性。

2. 反演公式 (Inversion Formula)

反演公式提供了从特征函数 $\varphi (t)$ 计算回原始分布函数 $F(x)$ 或密度函数 $f(x)$ 的方法。它在形式上是傅里叶逆变换。

• 分布函数 (CDF) 的反演公式: 如果 $x$ 和 $y$ ($x<y$) 是分布函数 $F(x)$ 的两个连续点，则： $F(y)-F(x)=\frac{1}{2\pi }{\lim }_{T\to \infty }{\int }_{-T}^T\frac{e^{-itx}-e^{-ity}}{it}\varphi (t)dt$ 这个公式在实际计算中较为复杂，但它在理论上建立了从 $\varphi (t)$ 到 $F(x)$ 的桥梁。

• 密度函数 (PDF) 的反演公式: 这是一个在应用中更常见的形式。如果特征函数 $\varphi (t)$ 满足可积条件（即 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|\varphi (t)|dt<\infty$），那么该随机变量一定是连续型的，并且其概率密度函数 $f(x)$ 可以通过以下公式得到： $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-itx}\varphi (t)dt$

  • 形式: 这正是傅里叶逆变换的标准形式（忽略常数因子的差异）。它表明，如果知道特征函数，原则上就可以通过积分计算出原始的密度函数。

学习要点

• 唯一性是核心: 必须牢记“特征函数唯一决定分布”这一核心结论。这是后续所有相关应用的基础。
• 反演公式是工具: 理解反演公式是唯一性定理的建设性证明，它提供了一个从特征函数“解码”出原始分布的具体路径。
• 傅里叶变换对: 将特征函数的定义和反演公式放在一起看，可以发现PDF $f(x)$ 和特征函数 $\varphi (t)$ 构成一个傅里叶变换对。概率论中的许多深刻结果都源于对这一变换对的分析。
  • 正向 (PDF $\to$ CF): $\varphi (t)=\int e^{itx}f(x)dx$
  • 逆向 (CF $\to$ PDF): $f(x)=\frac{1}{2\pi }\int e^{-itx}\varphi (t)dt$

实践应用

虽然反演公式的直接积分计算可能很复杂，但它在理论推导和某些特殊分布的分析中非常有用。

例题: 已知一个随机变量 $X$ 的特征函数为 ${\varphi }_X(t)=e^{-|t|}$。求其概率密度函数 $f_X(x)$。

解题思路:

1. 检查可积性: 特征函数 $\varphi (t)=e^{-|t|}$ 在 $(-\infty ,\infty )$ 上是可积的，因此我们可以使用PDF的反演公式。
2. 应用反演公式: $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-itx}{e}^{-|t|}dt$
3. 计算积分:
   • 将积分拆分为负半轴和正半轴： $f(x)=\frac{1}{2\pi }\left[{\int }_{-\infty }^0{e}^{-itx}{e}^{t}dt+{\int }_0^{\infty }{e}^{-itx}{e}^{-t}dt\right]$
   • $f(x)=\frac{1}{2\pi }\left[{\int }_{-\infty }^0{e}^{(1-ix)t}dt+{\int }_0^{\infty }{e}^{-(1+ix)t}dt\right]$
   • $f(x)=\frac{1}{2\pi }\left[\frac{1}{1-ix}{e}^{(1-ix)t}{|}_{-\infty }^0+\frac{1}{-(1+ix)}{e}^{-(1+ix)t}{|}_0^{\infty }\right]$
   • $f(x)=\frac{1}{2\pi }\left[\frac{1}{1-ix}(1-0)-\frac{1}{1+ix}(0-1)\right]=\frac{1}{2\pi }\left(\frac{1}{1-ix}+\frac{1}{1+ix}\right)$
   • $f(x)=\frac{1}{2\pi }\frac{(1+ix)+(1-ix)}{(1-ix)(1+ix)}=\frac{1}{2\pi }\frac{2}{1-(ix{)}^2}=\frac{1}{2\pi }\frac{2}{1+x^2}=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$
4. 结论: 该随机变量的密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$，这是一个柯西分布（Cauchy Distribution）。

关联知识点

• 前置知识:
  • 073-理论方法-特征函数的基本性质
• 核心应用:
  • 071-理论方法-独立和的母函数 (唯一性是此方法有效性的保证)
• 后续知识:
  • 085-理论方法-连续性定理 (勒维连续性定理，将分布的收敛与特征函数的收敛联系起来)
  • 傅里叶分析 (Fourier Analysis)