知识点概述

林德伯格-勒维中心极限定理（Lindeberg-Lévy Central Limit Theorem）是中心极限定理最常见、最经典的形式。它为在独立同分布（i.i.d.） 这个核心假设下，大量随机变量之和的分布趋向于正态分布提供了严格的数学描述。这个定理是现代统计推断的理论基石。

教材原文

(该定理是中心极限定理的标准形式，在教材4.3节中作为核心内容引入。)

设 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ 是一系列独立同分布 (i.i.d.) 的随机变量。

假设它们的数学期望和方差都存在且有限：

令 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ 为样本和， $ar{X}_n = S_n/n$ 为样本均值。

定理断言，当 $n o \infty$ 时，对样本和（或样本均值）进行标准化后的随机变量 $Z_{n}$ ： $Z_n = rac{S_n - nΓ}{√{n}σ} = rac{ar{X}_n - Γ}{σ/√{n}}$ 依分布收敛于标准正态分布 $N (0, 1)$ 。

$Z_{n} ‥ d N (0, 1)$

核心条件:
1. 独立同分布 (i.i.d.): 这是最关键的假设。所有随机变量都来自同一个总体，并且相互之间没有影响。
2. 期望和方差存在: 要求随机变量的波动性是有限的，排除了某些具有“厚尾”特性的分布（如柯西分布，其期望和方差不存在）。
核心结论:
- 依分布收敛: 结论是关于分布的收敛，而不是值的收敛。
- 正态分布: 极限分布是正态分布，这体现了正态分布在概率论中的中心地位。
- 标准化: 必须进行标准化（减均值，除以标准差），极限分布才是标准正态分布 $N (0, 1)$ 。

该定理的经典证明方法是使用特征函数和勒维连续性定理。

目标: 证明 $Z_{n}$ 的特征函数 $Φ_{Z_{n}} (t)$ 的极限是标准正态分布的特征函数 $e^{- t^{2} /2}$ 。
变量代换: 令 $Y_i = rac{X_i - Γ}{σ}$ ，则 $Y_{i}$ 是标准化的随机变量，满足 $E (Y_{i}) = 0, D (Y_{i}) = 1$ 。那么 $Z_n = rac{1}{√{n}} ∑_{i=1}^n Y_i$ 。
特征函数变换:
- 利用特征函数的性质， $Φ_{Z_n}(t) = Φ_{∑ Y_i}( rac{t}{√{n}})$ 。
- 由于 $Y_{i}$ 独立同分布， $Φ_{Z_n}(t) = [Φ_{Y_1}( rac{t}{√{n}})]^n$ 。
泰勒展开: 对 $Φ_{Y_{1}} (u)$ 在 $u = 0$ 附近进行二阶泰勒展开。因为 $E (Y_{1}) = 0, E (Y_{1}^{2}) = D (Y_{1}) = 1$ ，我们有： $Φ_{Y_1}(u) = Φ_{Y_1}(0) + Φ_{Y_1}'(0)u + rac{Φ_{Y_1}''(0)}{2}u^2 + o(u^2)$ $Φ_{Y_1}(u) = 1 + iE(Y_1)u + rac{i^2E(Y_1^2)}{2}u^2 + o(u^2) = 1 - rac{1}{2}u^2 + o(u^2)$ 。
取极限:
- 令 $u = t /\sqrt n$ 。当 $n o \infty$ 时， $u o 0$ 。
- $Φ_{Z_n}(t) = [1 - rac{1}{2}( rac{t}{√{n}})^2 + o(( rac{t}{√{n}})^2)]^n = [1 - rac{t^2}{2n} + o( rac{1}{n})]^n$ 。
- 利用重要极限 $∑_{n o∞}(1+ rac{a}{n})^n = e^a$ ，可以证明上式的极限为 $e^{- t^{2} /2}$ 。
结论: 由于 $Z_{n}$ 的特征函数收敛于标准正态分布的特征函数，根据连续性定理， $Z_{n}$ 依分布收敛于 $N (0, 1)$ 。