012-应用案例-约会问题

知识点概述

约会问题是几何概型的一个经典应用。它通过将两个独立的随机时间变量映射到二维坐标系中，将“两人能否会面”的概率问题转化为计算一个几何图形面积比的问题。

教材原文

（约会问题）甲乙二人约定在 $[0,T]$ 时段内去某地会面，规定先到者等候一段时间 $t(t\le T)$ 再离去．试求事件 $A=\{\text{甲乙将会面}\}$ 的概率.

解：分别以 $x,y$ 表示甲乙到达会面地点的时间，则样本点是坐标平面上一个点 $(x,y)$ ，而样本空间 $\Omega =\{(x,y):0\le x,y\le T\}$ 是边长为 $T$ 的正方形。由于二人到达时刻的任意性，样本点在 $\Omega$ 中均匀分布，属几何概型．我们关心的事件是 $A=\{\text{甲 乙 将 会 面}\}=\{(x,y)\in \Omega :|x-y|\le t\}$ …所求概率 $P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}=\frac{T^2-(T-t{)}^2}{T^2}=1-{\left(1-\frac{t}{T}\right)}^2$

详细解释

• 问题建模:

  1. 确定随机变量: 设甲的到达时间为 $x$，乙的到达时间为 $y$。由于他们在 $[0,T]$ 时段内随机到达，所以 $x$ 和 $y$ 都是在 $[0,T]$ 上均匀分布的随机变量。
  2. 构建样本空间: 将 $x$ 和 $y$ 作为二维坐标系的两个坐标轴。由于 $0\le x\le T$ 且 $0\le y\le T$，样本空间 $\Omega$ 对应于坐标系中一个边长为 $T$ 的正方形，其面积为 $m(\Omega )=T^2$。
  3. 确定事件区域: 两人能够会面的条件是，他们到达的时间差的绝对值不超过规定的等待时间 $t$，即 $|x-y|\le t$。这个不等式等价于 $-t\le x-y\le t$，或者 $y\le x+t$ 且 $y\ge x-t$。
  4. 几何图形: 这个不等式组在正方形样本空间内定义了一个带状区域。这个区域是整个正方形去掉左上角和右下角两个小的等腰直角三角形后剩下的部分。

• 概率计算:

  • 计算对立事件（两人无法会面）的区域更容易。无法会面的条件是 $|x-y|>t$，即 $y>x+t$ 或 $y<x-t$。
  • 这对应于正方形左上角和右下角的两个三角形区域。每个三角形的边长都是 $(T-t)$，所以它们的总面积是 $2\times \frac{1}{2}(T-t{)}^2=(T-t{)}^2$。
  • 因此，会面区域的面积 $m(A)=T^2-(T-t{)}^2$。
  • 最终概率为 $P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega )}=\frac{T^2-(T-t{)}^2}{T^2}=1-(1-\frac{t}{T}{)}^2$。

学习要点

• 多维几何概型: 学习如何处理涉及多个连续随机变量的问题，关键是建立多维坐标系来表示样本空间。
• 不等式与几何区域: 熟练地将事件的代数条件（不等式）转化为几何图形，这是解决几何概型问题的核心技能。
• 图形化分析: 借助画图来清晰地表示样本空间和事件区域，可以极大地帮助理解和计算。

实践应用

• 通信网络: 估算两个数据包在某个时间窗口内到达路由器并发生碰撞的概率。
• 运营管理: 分析两个服务流程（如顾客到达和服务员空闲）在时间上能否成功对接的概率。

关联知识点

• 前置知识:
  • 011-理论方法-几何概型