知识点概述
抽样检验是古典概型在工业质量控制和统计调查中的一个核心应用。它通过分析从总体中抽取的样本，来推断总体的某些性质（如次品率）。根据抽样方式的不同，主要分为“有放回抽样”和“不放回抽样”两种模型。
教材原文
（抽样检验）袋中有 r 个红球与 b 个黑球。现从中任取 n 个，试对有放回与不放回二方式分别求事件 E = { 取出的 n 个中恰含 k 个红球 } 的概率。
不放回情形 样本点是组合，总数 。再由乘法原理可得有利场合数 。故
放回情形 样本点是可重复的排列，样本点总数 。 … 用乘法原理知 。故有
详细解释
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问题模型: 将一批产品看作一个装有 r 个正品（红球）和 b 个次品（黑球）的袋子。从中抽取 n 个样本进行检验。
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不放回抽样 (Hypergeometric Distribution):
- 场景: 每次抽出的样本不再放回总体中。这符合大多数实际的质检场景。
- 模型: 样本点是组合，因为不放回，所以抽取的顺序不影响最终样本的构成。
- 计算:
- 总样本空间是从 r+b 个产品中抽取 n 个，共有 种组合。
- “恰好抽到k个正品”意味着同时抽到了 n-k 个次品。有利场合数为从 r 个正品中选 k 个，再从 b 个次品中选 n-k 个，即 。
- 此模型被称为超几何分布。
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有放回抽样 (Binomial Distribution):
- 场景: 每次抽出的样本记录后放回总体，再进行下一次抽取。在理论上，这保证了每次抽样的独立性和总体构成的不变性。
- 模型: 样本点是可重复的排列。每次抽取都是一次独立的Bernoulli试验。
- 计算:
- 总样本空间是每次都有 r+b 种可能，共抽取 n 次，所以是 。
- “恰好抽到k个正品”的有利场合数计算分为三步：1. 在n次抽取中选择k次为正品，有 种选法。2. 这k次都抽到正品，有 种方式。3. 另外n-k次都抽到次品，有 种方式。总数为 。
- 此模型是二项分布。
学习要点
- 理解两种抽样方式的本质区别: 不放回抽样中，每次抽取的结果会影响下一次抽取的概率；有放回抽样中，每次抽取都是独立的。
- 掌握对应的概率模型: 不放回抽样对应超几何分布，有放回抽样对应二项分布。
- 近似关系: 当总体数量 N (即 r+b) 远大于样本数量 n 时，不放回抽样的结果可以由计算更简单的二项分布来近似。
实践应用
- 产品质量检验: 工厂从一大批产品中抽取少量样本进行检测，根据样本中的次品数来决定是否接收或拒收整批产品。
- 民意调查: 在社会调查中，从大量人群中抽取一部分进行问卷调查，以推断全体人群的意见分布。
关联知识点
- 前置知识:
- 后续知识: